大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2022年度 電子光科学 [I-1]

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Author

Miyake

Description

3 次実正方行列

$$A=\begin{pmatrix}a&0&b\\0&a&0\\b&0&a\end{pmatrix}$$

について以下の問に答えよ。ただし、$b\ne0$ とする。

(1) $A$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

(2) $A$ を対角化する直交行列 $P$ を求めよ。

Kai

(1)

$\det(\lambda I-A)=(\lambda-a)(\lambda-a-b)(\lambda-a+b)$ より、固有値と対応する固有ベクトルは

$$\begin{array}{c|c} \lambda&v\ (c\ne0)\\\hline a-b&c(1,0,-1)^T\\a&c(0,1,0)^T\\a+b&c(1,0,1)^T \end{array}$$

である。

(2)

上の固有ベクトルを正規化して並べると

$$\boxed{P=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&\sqrt2&0\\-1&0&1\end{pmatrix}}.$$

$P^TP=I$ かつ $P^TAP=\operatorname{diag}(a-b,a,a+b)$ が成り立つ。