大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2021年8月実施 電子光科学 [I-1]

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• Osaka-University
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Orthogonal-Diagonalization-of-Symmetric-Matrices

Author

Miyake

Description

题目描述

原文题干缺失。给定实对称矩阵

$$A=\begin{pmatrix} a&0&b\\ 0&a&0\\ b&0&a \end{pmatrix}, \qquad b\ne0.$$

1. 求 $A$ 的全部特征值及各自的一组归一化特征向量。
2. 构造正交矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵，并写出该对角矩阵。

考点

• 实对称矩阵的谱：求互异实特征值及正交特征向量。
• 归一化：将特征向量化为单位向量。
• 正交对角化：以一组标准正交特征向量为列构造 $P$。

Kai

(1)

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} a - \lambda & 0 & b \\ 0 & a - \lambda & 0 \\ b & 0 & a - \lambda \end{pmatrix} \\ &= (a - \lambda)^3 - b^2(a - \lambda) \\ &= - (\lambda - a)(\lambda - a - b)(\lambda - a + b) \\ \therefore \ \ \lambda &= a-b, a, a+b \end{aligned}$$

$b \ne 0$ なので、この3つは異なり、3つの固有値 $a-b,a,a+b$ を持つことがわかる。

固有値 $a-b$ に属する固有ベクトルを求めるために、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} a - (a-b) & 0 & b \\ 0 & a - (a-b) & 0 \\ b & 0 & a - (a-b) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $b \ne 0$ を考慮して、 $x+z=0, y=0$ を得るので、固有ベクトル

$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を得る。

同様にして、固有値 $a, a+b$ のそれぞれに属する固有ベクトル

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を得る。

(2)

(1)で求めた固有ベクトルを使って、

$$\begin{aligned} P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とすれば、これは直交行列で、

$$\begin{aligned} P^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} P^{-1} A P = \begin{pmatrix} a-b & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a+b \end{pmatrix} \end{aligned}$$

となる。