大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2021年度 電子光科学 [I-3]

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

微分方程式

$$f''(x)+(-x^2+2n+1)f(x)=0$$

について考える。ただし、$n$ は非負の整数 $(n=0,1,2,\ldots)$ であるとする。以下の問に答えよ。

(1) $n=0$ の場合に $e^{-x^2/2}$ が解となることを示せ。

(2) $f(x)=h(x)e^{-x^2/2}$ とするとき、$h(x)$ が満たすべき微分方程式を導け。

(3) $h(x)$ が多項式で与えられるとし、係数 $a_k$ を用いて

$$h(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$$

と書くことにする。このとき、$a_k$ が満たすべき漸化式を求めよ。また、$h(x)$ が有限の次数の多項式となるとき、その次数を $n$ を用いて表せ。

Kai

(1)

$f=e^{-x^2/2}$ なら $f''=(x^2-1)e^{-x^2/2}$。よって $f''+(-x^2+1)f=0$。

(2)

$$f''=e^{-x^2/2}\bigl(h''-2xh'+(x^2-1)h\bigr)$$

を代入して $\boxed{h''-2xh'+2nh=0}$。

(3)

$x^k$ の係数を比較すると

$$(k+2)(k+1)a_{k+2}+2(n-k)a_k=0,$$

したがって

$$\boxed{a_{k+2}=\frac{2(k-n)}{(k+2)(k+1)}a_k\quad(k\ge0)}.$$

非零多項式の次数を $m$ とすると最高次の係数は $2(n-m)a_m=0$。ゆえに $\boxed{m=n}$。 $n$ が偶数なら $a_1=0$、奇数なら $a_0=0$ とし、残る初期係数を非零に選べば $k=n$ で級数が打ち切られる。