大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2021年度 電子光科学 [I-1]

标签：

• Osaka-University
• Complex-Analysis

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の問に答えよ。ただし、$i$ は虚数単位とする。

(1) 次の値の実部と虚部をそれぞれ求めよ。

(a) $i^i$　(b) $\sin i$

(2) $z=x+iy$、$w=u+iv$ $(x,y,u,v\in\mathbb R)$ とする。変換式 $w=\cos z$ によって、$x$ 軸に平行な直線 $y=c$（$c$ は定数、$c\ne0$）はどのような図形に写されるか、式と共に述べよ。

Kai

(1)

(a) $\log i=i(\pi/2+2\pi k)$ より

$$i^i=e^{-(\pi/2+2\pi k)}\quad(k\in\mathbb Z).$$

したがって実部は $e^{-(\pi/2+2\pi k)}$、虚部は $0$。主値の実部は $e^{-\pi/2}$。

(b) $\sin i=(e^{-1}-e)/(2i)=i\sinh1$ より、実部は $\boxed0$、虚部は $\boxed{(e-e^{-1})/2}$。

(2)

$$\cos(x+ic)=\cos x\cosh c-i\sin x\sinh c$$

なので $u=\cosh c\cos x$、$v=-\sinh c\sin x$。したがって像は

$$\boxed{\frac{u^2}{\cosh^2c}+\frac{v^2}{\sinh^2c}=1}.$$

原点を中心とし、実軸方向の半長軸が $\cosh c$、虚軸方向の半短軸が $|\sinh c|$ の楕円である。