大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2021年度 電子光科学 [I-2]

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Author

Miyake

Description

2 次以下の実係数多項式 $f(x)=ax^2+bx+c$ からなるベクトル空間 $V$ において線形変換を $T(f(x))=f(x+1)$ と定義する。以下の問に答えよ。

(1) ベクトル空間 $V$ における 1 組の基底を答えよ。

(2) 問 (1) で答えた基底に関する $T$ の表現行列 $A$ を求めよ。

(3) 表現行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

Kai

(1) $\boxed{(x^2,x,1)}$。

(2) $T(x^2)=x^2+2x+1$、$T(x)=x+1$、$T(1)=1$ より

$$\boxed{A=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}}.$$

(3) $\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)^3$ より、固有値は $\boxed{\lambda=1}$（代数的重複度 3）。 $(A-I)v=0$ を解くと、固有ベクトルは

$$\boxed{v=c(0,0,1)^T\quad(c\ne0)}.$$