大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2020年8月実施 電子光科学 [I-2]

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• Osaka-University
• Linear-Operator-on-Polynomial-Space
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

Miyake

Description

题目描述

原文题干缺失。设 $V$ 为次数不超过 2 的实系数多项式空间，并定义线性变换

$$(Tf)(x)=f(x+1).$$

1. 给出 $V$ 的一组基 $u(x),v(x),w(x)$。
2. 求 $T$ 关于该基的表示矩阵。
3. 求表示矩阵的特征值与特征向量。

考点

• 多项式向量空间：使用 $\{x^2,x,1\}$ 作为标准基。
• 线性变换的表示矩阵：把每个基向量的像在原基下展开并按列排列。
• 特征值与特征向量：分析上、下三角表示矩阵的谱及特征空间。
• 平移算子：理解变量替换 $x\mapsto x+1$ 对多项式系数的作用。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} u(x) = x^2 , \ \ v(x) = x , \ \ w(x) = 1 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} T(u(x)) &= T(x^2) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \\ &= u(x) + 2v(x) + w(x) \\ T(v(x)) &= T(x) = x+1 \\ &= v(x) + w(x) \\ T(w(x)) &= T(1) = 1 \\ &= w(x) \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} T(u(x)) & T(v(x)) & T(w(x)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u(x) & v(x) & w(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であり、求める表現行列は、

$$\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(3)

$A$ の固有値は $1$ であり、対応する固有ベクトルは、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。