大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2020年度 電子光科学 [I-3]

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Miyake

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以下の不定積分を求めよ。

(1) $\displaystyle\int\cos^2x\,dx$

(2) $\displaystyle\int x\sin x\,dx$

(3) $\displaystyle\int x^2\cos x\,dx$

(4) $\displaystyle\int\frac{dx}{(1+x^2)^2}$

Kai

以下、$C$ は積分定数とする。

(1) 半角公式より

$$\int\cos^2x\,dx=\frac12\int(1+\cos2x)\,dx =\boxed{\frac x2+\frac{\sin2x}{4}+C}.$$

(2) 部分積分より

$$\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx =\boxed{-x\cos x+\sin x+C}.$$

(3) (2) を用いて

$$\int x^2\cos x\,dx=x^2\sin x-2\int x\sin x\,dx =\boxed{x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C}.$$

(4) $x=\tan\theta$ とおくと $\int\cos^2\theta\,d\theta$ となるので

$$\boxed{\int\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\frac{x}{2(1+x^2)}+\frac12\arctan x+C}.$$