大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2019年8月実施 電子光科学 [I-3]

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Author

Miyake

Description

题目描述

计算下列不定积分，积分常数记为 $C$。

1. $\displaystyle\int\cos^2x\,dx$；
2. $\displaystyle\int x\sin x\,dx$；
3. $\displaystyle\int x^2\cos x\,dx$；
4. $\displaystyle\int\frac{dx}{(1+x^2)^2}$。

考点

• 三角恒等式：用降幂公式处理 $\cos^2x$。
• 分部积分：对多项式与三角函数乘积重复应用。
• 三角换元：令 $x=\tan\theta$ 化简 $(1+x^2)^{-2}$。

Kai

以下、積分定数を $C$ と書く。

(1)

$$\begin{aligned} \int \cos^2 x dx &= \int \frac{\cos 2x + 1}{2} dx \\ &= \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{2} x + C \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \int x \sin x dx &= - \int x (\cos x)' dx \\ &= - x \cos x + \int \cos x dx \\ &= - x \cos x + \sin x + C \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} \int x^2 \cos x dx &= \int x^2 (\sin x)' dx \\ &= x^2 \sin x - 2 \int x \sin x dx \\ &= x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C \end{aligned}$$

(4)

$x = \tan \theta$ とおいて、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \int \frac{dx}{(1+x^2)^2} &= \int \frac{1}{(1 + \tan^2 \theta)^2} \frac{d \theta}{\cos^2 \theta} \\ &= \int \cos^2 \theta d \theta \\ &= \frac{1}{4} \sin 2 \theta + \frac{1}{2} \theta + C \\ &= \frac{1}{2} \frac{x}{1+x^2} + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C \end{aligned}$$