大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2020年度 電子光科学 [I-2]

标签：

• Osaka-University
• Kernel-and-Image
• Affine-Solution-Space-of-Linear-System

Author

Miyake

Description

3 次元実ベクトル空間において線形写像 $f(\boldsymbol x)=A\boldsymbol x$ を考える。ただし、

$$A=\begin{pmatrix}1&1&3\\0&1&2\\1&2&5\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T$$

とする。以下の問に答えよ。

(1) $A\boldsymbol x$ からなる集合の次元と一組の基底を求めよ。

(2) $f(\boldsymbol x)=(0,0,0)^T$ となる $\boldsymbol x$ の集合を求めよ。

(3) $f(\boldsymbol x)=(5,3,8)^T$ となる $\boldsymbol x$ の集合を求めよ。

Kai

(1)

$$A\boldsymbol x=(x_1+x_3)\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} +(x_2+2x_3)\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}.$$

右の2ベクトルは一次独立なので、次元は $\boxed2$、一組の基底は

$$\boxed{\{(1,0,1)^T,(1,1,2)^T\}}.$$

(2)

$x_1+x_3=0$、$x_2+2x_3=0$ より

$$\boxed{\{t(-1,-2,1)^T\mid t\in\mathbb R\}}.$$

(3)

$x_1+x_3=2$、$x_2+2x_3=3$ より

$$\boxed{\{(2-t,3-2t,t)^T\mid t\in\mathbb R\}}.$$