大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2019年8月実施 電子光科学 [I-2]

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Author

Miyake

Description

题目描述

原文题干缺失。根据现有解答，线性映射 $A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ 的矩阵为

$$A=\begin{pmatrix} 1&1&3\\ 0&1&2\\ 1&2&5 \end{pmatrix}.$$

1. 求 $\operatorname{Im}A$ 的维数与一组基。
2. 求所有满足 $A\boldsymbol x=\boldsymbol0$ 的向量。
3. 求所有满足 $A\boldsymbol x=\begin{pmatrix}5\\3\\8\end{pmatrix}$ 的向量。

考点

• 线性映射的像：从矩阵列向量中提取极大线性无关组。
• 核空间：解齐次线性方程组并参数化全部解。
• 非齐次方程组：求一个特解并加上核空间得到完整解集。
• 秩—零化度关系：联系像维数与核维数。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} A x &= \begin{pmatrix} x_1 + x_2 + 3x_3 \\ x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 2x_2 + 5x_3 \end{pmatrix} = (x_1+x_3) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + (x_2+2x_3) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

なので、2次元であり、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

は基底である。

(2)

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x_1 + x_2 + 3x_3 \\ x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 2x_2 + 5x_3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

より、

$$\begin{aligned} x_1 + x_3 = 0 , \ \ x_2 + 2 x_3 = 0 \end{aligned}$$

であるから、求めるベクトルの集合は、 $t$ を任意の実数として、

$$\begin{aligned} t \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

の形のベクトルたちである。

(3)

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x_1 + x_2 + 3x_3 \\ x_2 + 2x_3 \\ x_1 + 2x_2 + 5x_3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

より、

$$\begin{aligned} x_1 + x_3 = 2 , \ \ x_2 + 2 x_3 = 3 \end{aligned}$$

であるから、求めるベクトルの集合は、 $t$ を任意の実数として、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -t+2 \\ -2t+3 \\ t \end{pmatrix} \end{aligned}$$

の形のベクトルたちである。