大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2020年度 電子光科学 [I-1]

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• Osaka-University
• Cauchy-Riemann-Equations

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

複素関数 $f(z)=u+iv$ が $z=x+iy$ の正則関数であるとする。 $u=x^3+axy^2$ のとき $a$ と $v$ を求めよ。ただし、$x,y,a,u,v\in\mathbb R$、$i$ は虚数単位とする。

Kai

コーシー・リーマンの方程式 $v_y=u_x=3x^2+ay^2$ を積分すると

$$v=3x^2y+\frac a3y^3+g(x).$$

もう一方の式 $v_x=-u_y$ より

$$6xy+g'(x)=-2axy.$$

したがって $a=-3$、$g'(x)=0$ であり、

$$\boxed{a=-3,\qquad v=3x^2y-y^3+C\quad(C\in\mathbb R)}.$$