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大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2020年度 電子光科学 [I-1]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

複素関数 f(z)=u+ivf(z)=u+iv が z=x+iyz=x+iy の正則関数であるとする。 u=x3+axy2u=x^3+axy^2 のとき aa と vv を求めよ。ただし、x,y,a,u,v∈Rx,y,a,u,v\in\mathbb R、ii は虚数単位とする。

Kai​

コーシー・リーマンの方程式 vy=ux=3x2+ay2v_y=u_x=3x^2+ay^2 を積分すると

v=3x2y+a3y3+g(x).v=3x^2y+\frac a3y^3+g(x).

もう一方の式 vx=−uyv_x=-u_y より

6xy+g′(x)=−2axy.6xy+g'(x)=-2axy.

したがって a=−3a=-3、g′(x)=0g'(x)=0 であり、

a=−3,v=3x2y−y3+C(C∈R).\boxed{a=-3,\qquad v=3x^2y-y^3+C\quad(C\in\mathbb R)}.
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