大阪大学基礎工学研究科電子光科学 (システム創成専攻) 2019年8月実施電子光科学 [I-1]

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原文题干缺失。根据现有解答，设

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

在复平面上解析，其中 $u(x,y)=x^3+axy^2,$ $a$ 为实常数。求使 $f$ 解析的 $a$ ，并求虚部 $v(x,y)$ （允许相差实常数）。

$f$ は正則関数であるから、コーシー-リーマンの方程式が成り立つ：

\begin{aligned} \frac{\partial v}{\partial y} &= \frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2+ay^2 \\ \therefore \ \ v &= 3x^2y + \frac{1}{3}ay^3 + w(x) . \end{aligned}

ここで、 $w(x)$ は $y$ にはよらない $x$ の関数である。この $u,v$ を、コーシー-リーマンのもう1つの方程式

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned}

に代入して、次を得る：

\begin{aligned} 2axy = -6xy - w'(x) . \end{aligned}

よって、 $a=-3, w(x)=C$ （定数）であることがわかる。よって、次もわかる：

\begin{aligned} v = 3x^2y + \frac{1}{3}ay^3 + C . \end{aligned}