大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2019年度 電子光科学 [I-5]

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• Probability-Distributions-and-Asymptotics

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

事象 $F$ の生起確率を $P(F)$、確率変数 $X$ の平均を $E[X]$、分散を $V[X]$ として、以下の問に答えよ。

(1) 非負の実数値の有限集合 $A$ 上の確率変数 $X$ と、任意の $a>0$ に対して、以下の不等式が成り立つことを証明せよ。

$$P(X\ge a)\le\frac{E[X]}a.$$

(2) 実数値の有限集合 $B$ 上の確率変数 $X$ と、任意の $b>0$ に対して、以下の不等式が成り立つことを示せ。ただし、問 (1) の不等式を用いてもよい。

$$P(|X-E[X]|\ge b)\le\frac{V[X]}{b^2}.$$

Kai

(1)

$X\ge0$ より

$$E[X]=\sum_{x\in A}xP(X=x)\ge\sum_{x\ge a}xP(X=x) \ge a\sum_{x\ge a}P(X=x)=aP(X\ge a).$$

$a>0$ で割れば所要の不等式を得る。

(2)

非負の確率変数 $Y=(X-E[X])^2$ に (1) を適用すると

$$P(|X-E[X]|\ge b)=P(Y\ge b^2) \le\frac{E[Y]}{b^2}=\frac{V[X]}{b^2}.$$