大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2019年度 電子光科学 [I-4]

标签：

• Osaka-University
• Fourier-Analysis

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$N$ 点の離散フーリエ変換を

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn}\quad(k=0,1,2,\ldots,N-1)$$

とする。ここで、$W_N=e^{-2\pi i/N}$、$i$ は虚数単位である。$N$ が偶数のとき、$X[k]$ と $X[k+N/2]$ を $N/2$ 点の離散フーリエ変換で表す式を導出せよ。ただし、$k<N/2$ とする。

Kai

偶数番目と奇数番目に分け、$W_N^2=W_{N/2}$ を用いると

$$X[k]=\sum_{m=0}^{N/2-1}x[2m]W_{N/2}^{km} +W_N^k\sum_{m=0}^{N/2-1}x[2m+1]W_{N/2}^{km}.$$

それぞれの $N/2$ 点 DFT を $E[k],O[k]$ と書けば

$$\boxed{X[k]=E[k]+W_N^kO[k]}.$$

$W_N^{N/2}=-1$ と $E,O$ の $N/2$ 周期性から

$$\boxed{X[k+N/2]=E[k]-W_N^kO[k]}.$$