大阪大学基礎工学研究科電子光科学 (システム創成専攻) 2019年度電子光科学 [I-3]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

$xy$ 平面上の原点を通る直線 $l$ に対する折り返し（鏡映）変換 $f:(x,y)^T\mapsto(x',y')^T$ は、行列 $A$ を用いて

\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

と表現できる。以下の問に答えよ。

(1) 直線 $l$ が $x$ 軸上にある場合と $y$ 軸上にある場合を考える。行列 $A$ をそれぞれの場合について答えよ。

(2) 直線 $l$ が $y=ax$ の場合を考える。行列 $A$ の固有値 1 と $-1$ に対する固有ベクトルをそれぞれ答えよ。

(3) 問 (2) の場合における行列 $A$ を求めよ。

(1) $\displaystyle\boxed{A_x=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad A_y=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ 。

(2) 直線上のベクトルは変化せず、垂直なベクトルは符号が反転する。よって

\lambda=1:\quad c(1,a)^T,\qquad\lambda=-1:\quad c(-a,1)^T\quad(c\ne0).

(3) $u=(1,a)^T/\sqrt{1+a^2}$ とおくと、鏡映は $A=2uu^T-I$ である。したがって

\boxed{A=\frac1{1+a^2}\begin{pmatrix}1-a^2&2a\\2a&a^2-1\end{pmatrix}}.