大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2019年度 電子光科学 [I-2]

标签：

• Osaka-University
• Complex-Analysis

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の問に答えよ。ただし、$z=x+iy$、$i$ は虚数単位とする。

(1) 次の複素関数の特異点での留数を求めよ。

$$f(z)=\frac{e^{iz^2}}z.$$

(2) 問 (1) の $f(z)$ を下図の積分路で積分することによって、次の実関数の定積分の値を求めよ。

$$\int_0^\infty\frac{\sin x^2}{x}\,dx.$$

ただし図の点 $O$ は原点、$C_2,C_4$ はそれぞれ半径 $r,\varepsilon$ の $1/4$ 円周である。向きは $\varepsilon\to r\to ir\to i\varepsilon\to\varepsilon$ とする。

Kai

(1)

唯一の特異点は $z=0$ であり、$e^{iz^2}/z=z^{-1}+iz+\cdots$ より

$$\boxed{\operatorname{Res}_{z=0}f=1}.$$

(2)

積分路の内側には特異点がないので、4つの積分の和は $0$。 $C_3$ 上で $z=iy$ とおくと

$$\int_{C_1}f\,dz+\int_{C_3}f\,dz =2i\int_\varepsilon^r\frac{\sin x^2}{x}\,dx.$$

$C_4$ 上では $z=\varepsilon e^{i\theta}$、$\theta:\pi/2\to0$ なので

$$\int_{C_4}f\,dz=i\int_{\pi/2}^0e^{i\varepsilon^2e^{2i\theta}}d\theta\longrightarrow-\frac{\pi i}{2}.$$

また、$C_2$ の積分の絶対値は

$$\int_0^{\pi/2}e^{-r^2\sin2\theta}d\theta \le2\int_0^{\pi/4}e^{-4r^2\theta/\pi}d\theta\le\frac\pi{2r^2}\longrightarrow0.$$

よって $2iI-\pi i/2=0$ から $\boxed{I=\pi/4}$。