大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2019年度 電子光科学 [I-1]

标签：

• Osaka-University
• First-Order-Ordinary-Differential-Equation

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の微分方程式を解け。

(1) $\displaystyle\frac{dy}{dx}+xy=0$

(2) $\displaystyle\frac{dy}{dx}+xy=xe^{-x^2}$

(3) $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{2xy}$

Kai

(1)

$(e^{x^2/2}y)'=0$ より $\boxed{y=Ce^{-x^2/2}}$。

(2)

$(e^{x^2/2}y)'=xe^{-x^2/2}$ を積分して

$$\boxed{y=Ce^{-x^2/2}-e^{-x^2}}.$$

(3)

$u=y^2$ とおくと $u'=2yy'=x+u/x$。したがって

$$\left(\frac ux\right)'=1,\qquad u=x^2+Cx.$$

よって $\boxed{y^2=x^2+Cx}$。実解は $x\ne0$、$x^2+Cx>0$ の区間で $y=\pm\sqrt{x^2+Cx}$ と表される。