大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2018年度 電子光科学 [I-4]

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• Osaka-University
• Fourier-Transform

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

連続関数 $h(t)$ の時間間隔 $T$ ごとの標本値 $h(nT)$ を用いて

$$\hat h(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty h(nT)\delta(t-nT)$$

を定義する。ここで $\delta(t)$ はデルタ関数である。$h(t)$ のフーリエ変換を $H(f)$ として、以下の問に答えよ。

(1) $\hat h(t)$ のフーリエ変換 $\hat H(f)$ を $H(f)$ で表す式を導出せよ。

(2) $H(f)$ が下図で与えられ、$H(f)=0$ $(|f|>W)$ とする。$\hat h(t)$ から $h(t)$ が再現できる条件を記し、その条件が満たされている場合について、問 (1) の結果を用いて $\hat H(f)$ の概形を描け。ただし、横軸には必要な値を明記せよ。

Kai

(1)

フーリエ変換を $H(f)=\int h(t)e^{-2\pi ift}dt$ とする。周期 $T$ のインパルス列は

$$\sum_n\delta(t-nT)=\frac1T\sum_k e^{2\pi ikt/T}.$$

これに $h(t)$ を掛けて変換すると

$$\boxed{\hat H(f)=\frac1T\sum_{k=-\infty}^\infty H\left(f-\frac{k}{T}\right)}.$$

(2)

各複製の支持区間は $[k/T-W,k/T+W]$。これらが重ならない条件は

$$\boxed{\frac1T\ge2W}.$$

図のように端点で $H(\pm W)=0$ なら等号も許される。$|f|\le W$ の成分を利得 $T$ の理想低域フィルタで取り出せば $H(f)$ を復元できる。