大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2018年度 電子光科学 [I-3]

标签：

• Osaka-University
• Linear-Algebra

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

漸化式 $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$ を満たす数列 $\{f_n\}$ は行列

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$$

を用いて

$$\begin{pmatrix}f_{n+1}\\f_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}f_n\\f_{n-1}\end{pmatrix}\quad(n=1,2,3,\ldots)$$

と表現できる。$f_0=f_1=1$ として、以下の問に答えよ。

(1) $A$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

(2) 問 (1) で求めた固有値を $\lambda_1,\lambda_2$ $(\lambda_1>\lambda_2)$ として、$f_n$ を $\lambda_1,\lambda_2,n$ を用いて表せ。

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}$ を求めよ。

Kai

(1)

$\det(\lambda I-A)=\lambda^2-\lambda-1$ より

$$\boxed{\lambda_1=\frac{1+\sqrt5}{2},\quad\lambda_2=\frac{1-\sqrt5}{2}}.$$

対応する固有ベクトルは $c(\lambda_j,1)^T$ $(c\ne0)$。

(2)

$f_n=\alpha\lambda_1^n+\beta\lambda_2^n$ に初期条件を代入して

$$\boxed{f_n=\frac{\lambda_1^{n+1}-\lambda_2^{n+1}}{\lambda_1-\lambda_2}}.$$

(3)

$|\lambda_2/\lambda_1|<1$ より

$$\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}=\lambda_1=\frac{1+\sqrt5}{2}}.$$