大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2018年度 電子光科学 [I-2]

标签：

• Osaka-University
• Cauchy-Riemann-Equations

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

正則関数

$$f(z)=x^2+axy+by^2+i(cx^2+dxy+y^2)$$

について以下の問に答えよ。ただし、$z=x+iy$ は複素数、$x,y$ は実数、$i$ は虚数単位である。

(1) $f(z)$ が正則となるように実数係数 $a,b,c,d$ を定めよ。

(2) $df/dz$ を求めよ。

(3) $\displaystyle\int_{-1-i}^{1+i}f(z)\,dz$ を計算せよ。積分路は自由に選んでよい。

Kai

(1)

コーシー・リーマンの方程式より

$$2x+ay=dx+2y,\qquad ax+2by=-2cx-dy.$$

係数比較して $\boxed{a=2,\ b=-1,\ c=-1,\ d=2}$。

(2)

$f(z)=(1-i)z^2$ なので $\boxed{f'(z)=2(1-i)z}$。

(3)

原始関数 $(1-i)z^3/3$ を用いて

$$\int_{-1-i}^{1+i}f(z)\,dz =\frac{1-i}{3}\bigl((1+i)^3-(-1-i)^3\bigr) =\boxed{\frac{8i}{3}}.$$