大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2017年度 電子光科学 [I-4]

标签：

• Osaka-University
• Fourier-Analysis

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の各問に答えよ。ただし、$T>0$、$\omega=2\pi/T$ とする。

(1) 次の式を計算せよ。ただし、$n$ は整数とする。

$$s(n)=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}e^{-in\omega t}\,dt.$$

(2) 周期 $T$ の関数 $g(t)$ が

$$g(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{in\omega t}$$

と複素フーリエ級数展開されるとき、複素フーリエ係数 $c_n$ を求める式を書き、それが正しいことを問 (1) の結果を用いて示せ。

(3) 周期 $T$ の関数 $g(t),h(t)$ の複素フーリエ係数がそれぞれ $c_n,d_n$ $(n=0,\pm1,\pm2,\ldots)$ で与えられるとき、次式をそれらの係数を用いて表せ。

$$\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}g(t)h(t)\,dt.$$

Kai

(1)

$n=0$ では $s(0)=1$、$n\ne0$ では端点での指数関数がともに $(-1)^n$ なので

$$\boxed{s(n)=\delta_{n0}}.$$

(2)

$$\boxed{c_n=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}g(t)e^{-in\omega t}\,dt}.$$

右辺に級数を代入すると $\sum_m c_ms(n-m)=c_n$ となる。

(3)

指数関数の直交性から、$m+n=0$ の項だけが残る。よって

$$\boxed{\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}g(t)h(t)\,dt=\sum_{n=-\infty}^\infty c_nd_{-n}}.$$