大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2017年度 電子光科学 [I-3]

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の問に答えよ。

(1) 次の極限値を求めよ。

$$\lim_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}.$$

(2) 次の微分方程式を解け。

$$\frac{dy}{dx}+2y=5e^{3x}.$$

Kai

(1) $\log\cos x=-x^2/2+O(x^4)$ より

$$\log\bigl((\cos x)^{1/x^2}\bigr)\longrightarrow-\frac12.$$

したがって極限値は $\boxed{e^{-1/2}}$。

(2) 両辺に $e^{2x}$ を掛けると $(e^{2x}y)'=5e^{5x}$。よって

$$\boxed{y=e^{3x}+Ce^{-2x}}.$$