大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2017年度 電子光科学 [I-2]

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の問に答えよ。

(1) 次の複素関数の特異点での留数を求めよ。

$$f(z)=\frac{e^{iz}}{(z^2+1)^2}.$$

(2) 次の積分を計算せよ。

$$\int_0^\infty\frac{\cos x}{(x^2+1)^2}\,dx.$$

Kai

(1)

$z=\pm i$ は2位の極であり、

$$\operatorname{Res}_{z=i}f=\left[\frac{d}{dz}\frac{e^{iz}}{(z+i)^2}\right]_{z=i}=-\frac{i}{2e},$$

$$\operatorname{Res}_{z=-i}f=\left[\frac{d}{dz}\frac{e^{iz}}{(z-i)^2}\right]_{z=-i}=0.$$

(2)

上半円上では $|e^{iz}|\le1$、分母は半径の4乗のオーダーなので、半円上の積分は $0$ に収束する。留数定理より

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{(x^2+1)^2}\,dx =2\pi i\left(-\frac{i}{2e}\right)=\frac\pi e.$$

実部の偶対称性から $\boxed{\displaystyle\int_0^\infty\frac{\cos x}{(x^2+1)^2}\,dx=\frac\pi{2e}}$。