大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2017年度 電子光科学 [I-1]

标签：

• Osaka-University
• Linear-Algebra

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

行列 $A=\begin{pmatrix}-2&-3\\6&7\end{pmatrix}$ について以下の問に答えよ。

(1) $A$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

(2) $B^2=A$ を満たす行列 $B$ をすべて求めよ。

Kai

(1)

$\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)(\lambda-4)$ より

$$\lambda=1:\quad c(1,-1)^T,\qquad \lambda=4:\quad c(1,-2)^T\quad(c\ne0).$$

(2)

$B^2=A$ なら $AB=B^3=BA$。したがって $B$ は $A$ の各1次元固有空間を保つ。 $P=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-2\end{pmatrix}$ とすると

$$P^{-1}BP=\operatorname{diag}(\varepsilon,2\eta),\qquad\varepsilon,\eta\in\{1,-1\}.$$

よって求めるすべての行列は

$$\boxed{B=\begin{pmatrix} 2\varepsilon-2\eta&\varepsilon-2\eta\\ -2\varepsilon+4\eta&-\varepsilon+4\eta \end{pmatrix},\quad\varepsilon,\eta\in\{1,-1\}}.$$