大阪大学基礎工学研究科電子光科学 (システム創成専攻) 2016年度電子光科学 [I-3]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

以下の積分を計算せよ。ただし、 $z$ は複素数、 $C$ は複素平面上の単位円周 $|z|=1$ を反時計回りに一周する経路である。

(1) $\displaystyle\int_C\frac{dz}{e^z-1}$

(2) $\displaystyle\int_C\frac{dz}{(e^z-1)^2}$

(3) $\displaystyle\int_Cze^{1/z}\,dz$

いずれも円内の特異点は $z=0$ のみであり、 $z^{-1}$ の係数を求めて留数定理を用いる。

(1) $\displaystyle\frac1{e^z-1}=\frac1z-\frac12+O(z)$ より $\boxed{2\pi i}$ 。

(2) $\displaystyle\frac1{(e^z-1)^2}=\frac1{z^2}-\frac1z+O(1)$ より $\boxed{-2\pi i}$ 。

(3) $\displaystyle ze^{1/z}=z+1+\frac1{2z}+\frac1{6z^2}+\cdots$ より $\boxed{\pi i}$ 。