大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2016年度 電子光科学 [I-2]

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• Osaka-University
• Linear-Algebra

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

2 次形式 $\boldsymbol x^TA\boldsymbol x=2a(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)$ は変数変換 $\boldsymbol x=T\boldsymbol y$ により標準形 $\boldsymbol y^TD\boldsymbol y$ に変換できる。ここで、$A$ は 3 次の実対称行列、$T$ は 3 次の直交行列、$D$ は 3 次の対角行列、$\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T$、$\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)^T$ は実ベクトルである。以下の各問に答えよ。

(1) 行列 $A$ を求めよ。

(2) 行列 $D$ を $A$ と $T$ を用いて表せ。

(3) 標準形を求めよ。

Kai

(1) $\displaystyle\boxed{A=a\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}$。

(2) $\boldsymbol x=T\boldsymbol y$ の代入から $\boxed{D=T^TAT}$。

(3) $(1,1,1)^T$ に対する固有値は $2a$、その直交補空間に対する固有値は $-a$。例えば

$$T=\begin{pmatrix} 1/\sqrt3&1/\sqrt2&1/\sqrt6\\ 1/\sqrt3&-1/\sqrt2&1/\sqrt6\\ 1/\sqrt3&0&-2/\sqrt6 \end{pmatrix}$$

とすれば $D=\operatorname{diag}(2a,-a,-a)$ なので、標準形は

$$\boxed{2ay_1^2-ay_2^2-ay_3^2}.$$