大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2016年度 電子光科学 [I-1]

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の各問に答えよ。

(1) 次の不定積分を計算せよ。

$$\int\sqrt{1-x^2}\,dx$$

(2) 次の極限値を求めよ。

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{r=1}^n\frac{\sqrt{n^2-r^2}}{n^2}.$$

Kai

(1)

$x=\sin\theta$ とおくと $\int\cos^2\theta\,d\theta$ となるので

$$\boxed{\int\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac12\left(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\right)+C}.$$

(2)

リーマン和より

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{r=1}^n\sqrt{1-(r/n)^2} =\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\boxed{\frac\pi4}.$$