大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2015年度 電子光科学 [I-4]

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• Osaka-University
• Bayes-Theorem

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

互いに排反な事象 $A_1,A_2,\ldots,A_n$ があって、0 でない生起確率 $P(A_i)$ $(i=1,2,\ldots,n)$ が与えられていた。ただし、全事象は $\Omega=A_1\cup\cdots\cup A_n$ である。さらに、事象 $B$ について、条件付き確率 $P(B\mid A_i)$ が与えられている。以下の問に答えよ。

(1) $P(B\cap A_i)$ $(i=1,2,\ldots,n)$ を求めよ。

(2) $P(B)$ を求めよ。

(3) $P(A_k\mid B)$ $(k=1,2,\ldots,n)$ を求めよ。ただし、$P(B)\ne0$ とする。

Kai

(1) 条件付き確率の定義より

$$\boxed{P(B\cap A_i)=P(B\mid A_i)P(A_i)}.$$

(2) $B=\bigcup_i(B\cap A_i)$ は互いに排反な和なので

$$\boxed{P(B)=\sum_{i=1}^nP(B\mid A_i)P(A_i)}.$$

(3) (1)、(2) より

$$\boxed{P(A_k\mid B)=\frac{P(B\mid A_k)P(A_k)}{\sum_{i=1}^nP(B\mid A_i)P(A_i)}}.$$