大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2015年度 電子光科学 [I-3]

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

次の偏微分方程式に対して $f(x,y)=u(x)v(y)$ の形の解を求めよ。

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}.$$

Kai

非零の積型解について $u'/u=v''/v=\lambda$ とおくと

$$u'=\lambda u,\qquad v''=\lambda v.$$

したがって実数の分離定数に対する解は、任意定数 $A,B$ を用いて

$$\boxed{f(x,y)=\begin{cases} e^{k^2x}(Ae^{ky}+Be^{-ky})&\lambda=k^2>0,\\ A+By&\lambda=0,\\ e^{-k^2x}(A\cos ky+B\sin ky)&\lambda=-k^2<0, \end{cases}\quad k>0.}$$

$A=B=0$ により零解も含む。