大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2015年度 電子光科学 [I-2]

标签：

• Osaka-University
• Complex-Analysis

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

次の値を求めよ。ただし $i$ は虚数単位、$z$ は複素数、$C$ は複素平面上の単位円周 $|z|=1$ を反時計回りに一周する経路とする。

(1) $\log(1+i)$

(2) $\cosh^{-1}0$

(3) $\int_C\tanh(\pi z)\,dz$

Kai

(1)

$1+i=\sqrt2e^{i(\pi/4+2\pi k)}$ より

$$\boxed{\log(1+i)=\tfrac12\log2+i(\tfrac\pi4+2\pi k),\quad k\in\mathbb Z}.$$

主値は $k=0$ の値。

(2)

$\cosh w=0$ は $e^{2w}=-1$ と同値なので

$$\boxed{\cosh^{-1}0=i(\tfrac\pi2+\pi k),\quad k\in\mathbb Z}.$$

主値は $i\pi/2$。

(3)

円内の極は $z=\pm i/2$。各極の留数は

$$\frac{\sinh(\pi z)}{\pi\sinh(\pi z)}=\frac1\pi.$$

よって $\boxed{\int_C\tanh(\pi z)\,dz=4i}$。