大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2015年度 電子光科学 [I-1]

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• Osaka-University
• Linear-Algebra

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

3 行 3 列の実正方行列 $A=(\boldsymbol u\ \boldsymbol v\ \boldsymbol w)$ とその列ベクトル $\boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w$ について以下の問に答えよ。

(1) 行列式 $|A|$ をベクトル $\boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w$ の内積、外積を用いて表せ。

(2) $\boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w$ がベクトル空間の正規直交基底である場合、$A$ の逆行列を求めよ。

Kai

(1) 列による行列式の展開から

$$\boxed{|A|=\boldsymbol u\cdot(\boldsymbol v\times\boldsymbol w)}.$$

(2) 正規直交性より $A^TA=I$。したがって

$$\boxed{A^{-1}=A^T=\begin{pmatrix}\boldsymbol u^T\\\boldsymbol v^T\\\boldsymbol w^T\end{pmatrix}}.$$