大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2014年度 電子光科学 [I-3]

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• Osaka-University
• Complex-Analysis

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

留数の定理を用いて次の積分を計算せよ。ただし、$a>b>0$ とする。

$$\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos\theta}.$$

Kai

$z=e^{i\theta}$ とおくと

$$I=\frac2i\oint_{|z|=1}\frac{dz}{bz^2+2az+b}.$$

分母の根は $z_\pm=(-a\pm\sqrt{a^2-b^2})/b$ であり、$|z_+|<1<|z_-|$。 したがって

$$I=\frac2i\,2\pi i\frac1{2bz_++2a} =\boxed{\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}}.$$