大阪大学基礎工学研究科電子光科学 (システム創成専攻) 2014年度電子光科学 [I-2]

标签：

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

以下の各問に答えよ。ただし、 $p,n$ は 0 でない自然数、 $A,B,C$ は $p$ 次の正方行列、 $E$ は $p$ 次の単位行列、 $O$ は $p$ 次の零行列とする。

(1) $A^n=O$ を満たす行列 $A$ の固有値として可能なものをすべて求めよ。

(2) $B^n=E$ を満たす行列 $B$ の固有値として可能なものをすべて求めよ。

(3) $C^{n+1}=C$ を満たす行列 $C$ の固有値として可能なものをすべて求めよ。

固有ベクトル $v\ne0$ に各式を作用させる。

(1) $A v=\lambda v$ なら $\lambda^n v=0$ 。よって $\boxed{\lambda=0}$ 。

(2) $B v=\lambda v$ なら $\lambda^n=1$ 。よって

\boxed{\lambda=e^{2\pi ik/n}\quad(k=0,1,\ldots,n-1)}.

(3) $C v=\lambda v$ なら $\lambda(\lambda^n-1)=0$ 。よって

\boxed{\lambda=0\quad\text{または}\quad e^{2\pi ik/n}\quad(k=0,1,\ldots,n-1)}.

これらは複素行列 $\lambda E$ により実現できる。