大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2013年度 電子光科学 [I-4]

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• Osaka-University
• Fourier-Transform

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$h(t)$ のフーリエ変換を $H(f)$ とするとき、$h(t/a-b)$ のフーリエ変換を $H$ を用いて表す式をフーリエ変換の定義より導出せよ。ただし、$a$ と $b$ は実数であり、$a\ne0$ とする。

Kai

$H(f)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)e^{-2\pi ift}\,dt$ とする。$u=t/a-b$ と変数変換すると、$a<0$ のとき積分の向きも逆になるので

$$\begin{aligned} \mathcal F[h(t/a-b)](f) &=|a|\int_{-\infty}^{\infty}h(u)e^{-2\pi ifa(u+b)}\,du\\ &=\boxed{|a|e^{-2\pi iabf}H(af)}. \end{aligned}$$