大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2013年度 電子光科学 [I-3]

标签：

• Osaka-University
• Complex-Analysis

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

複素平面上の単位円周 $|z|=1$ を反時計回りに一周する経路を $C$ とする。次の複素積分

$$\int_C\frac{\tan\pi z}{z^3}\,dz$$

を考える。

(a) $C$ 内の被積分関数の極をすべて示せ。

(b) 留数の定理を用いて積分を計算せよ。

Kai

(a)

$z=0$ は 2 位の極、$z=\pm\frac12$ は単純極である。

(b)

$z=0$ では

$$\frac{\tan\pi z}{z^3}=\frac\pi{z^2}+\frac{\pi^3}{3}+O(z^2)$$

より留数は $0$。$a=\pm\frac12$ では

$$\operatorname{Res}_{z=a}\frac{\tan\pi z}{z^3}=-\frac1{\pi a^3}.$$

したがって留数の和は $0-8/\pi+8/\pi=0$ であり、

$$\boxed{\int_C\frac{\tan\pi z}{z^3}\,dz=0}.$$