大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2013年度 電子光科学 [I-2]

标签：

• Osaka-University
• Linear-Algebra

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$n$ 次の正方行列

$$A_n=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\1&0&1&\ddots&\vdots\\0&1&0&\ddots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\0&\cdots&0&1&0 \end{pmatrix}$$

について以下の問いに答えよ。ただし、$n\ge2$ とする。

(a) $A_n$ の行列式の値を求めよ。

(b) 3 次行列 $A_3$ の固有値と固有ベクトルをすべて求めよ。ただし、固有ベクトルはノルム 1 に規格化すること。

Kai

(a)

$D_n=\det A_n$ とおく。第1行、続いて第1列で展開すると

$$D_n=-D_{n-2},\qquad D_1=0,\quad D_2=-1.$$

したがって

$$\boxed{\det A_n=\begin{cases}0&(n\text{ が奇数}),\\(-1)^{n/2}&(n\text{ が偶数}).\end{cases}}$$

(b)

$\det(\lambda I-A_3)=\lambda(\lambda^2-2)$ より、固有値と対応する単位固有ベクトルは

$$\begin{array}{c|c} \lambda&v\\\hline \sqrt2&\frac12(1,\sqrt2,1)^T\\ 0&\frac1{\sqrt2}(1,0,-1)^T\\ -\sqrt2&\frac12(1,-\sqrt2,1)^T \end{array}$$

である。実単位固有ベクトルは、それぞれ上記のベクトルとその符号を逆にしたもの。