大阪大学 基礎工学研究科 電子光科学 (システム創成専攻) 2013年度 電子光科学 [I-1]

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• Differentiation

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

開区間 $(-1,1)$ 上の関数 $y=\sin^{-1}x$ $(-\pi/2<y<\pi/2)$ を考える。次の問いに答えよ。

(a) $y'$ を求めよ。

(b) $(1-x^2)y''-xy'=0$ が成立することを示せ。

(c) 非負の整数 $n$ に対して

$$(1-x^2)y^{(n+2)}-(2n+1)xy^{(n+1)}-n^2y^{(n)}=0$$

が成立することを示せ。ただし、$y$ の $n$ 階導関数を $y^{(n)}$ と表す。

Kai

(a)

$x=\sin y$、$\cos y=\sqrt{1-x^2}>0$ より

$$y'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}.$$

(b)

$y''=x(1-x^2)^{-3/2}$ を代入すれば左辺は $0$ である。

(c)

(b) を $n$ 回微分し、ライプニッツの公式を用いると

$$(1-x^2)y^{(n+2)}-2nx y^{(n+1)}-n(n-1)y^{(n)} -xy^{(n+1)}-ny^{(n)}=0.$$

整理すれば所要の式を得る。