大阪大学 基礎工学研究科 生体システム工学 2021年8月実施 II-1

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• Osaka-University
• Calculus-of-Variations
• Fermat-Principle-and-Snells-Law

Author

Miyake

Description

题目描述

原文题干缺失，以下依据现有解答整理。设平面内光路写作 $y=y(x)$，介质折射率为 $n(x,y)$，真空光速为 $c$，光从 $P_1=(x_1,y_1)$ 传播到 $P_2=(x_2,y_2)$。

【问题 1：Fermat 原理与变分法】

1. 从微小弧长 $dl=\sqrt{1+y'^2}\,dx$ 出发，证明传播时间可写为
   $$T[y]=\int_{x_1}^{x_2}\frac{n(x,y)}c\sqrt{1+y'^2}\,dx =\int_{x_1}^{x_2}L(x,y,y')\,dx.$$
2. 对端点固定的变分 $y=\bar y+\varepsilon h$，推导传播时间取驻值所满足的 Euler–Lagrange 方程
   $$\frac{\partial L}{\partial y}-\frac d{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0.$$
3. 当折射率为常数 $n_0$ 时，证明该方程化为 $y''=0$，所以光路是连接 $P_1,P_2$ 的直线。

【问题 2：折射定律】

两均匀介质折射率分别为 $n_1,n_2$，光线在界面处折射，入射角与折射角为 $\theta_1,\theta_2$。

1. 用光路线段斜率表示 $\sin\theta_1$；
2. 将总传播时间写成光在两介质中传播时间之和；
3. 令折射点沿界面作微小变化，利用传播时间驻值条件推导 Snell 定律 $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$

考点

• 光程与 Fermat 原理：把局部传播时间沿路径积分。
• 变分法：通过一阶变分和分部积分推导 Euler–Lagrange 方程。
• 均匀介质中的直线传播：由常折射率下的变分方程判断光路。
• Snell 定律：对界面交点优化总传播时间得到折射关系。

Kai

(問 1)

(ア)

曲線 $y=y(x)$ 上の2点 $(x,y), (x+\Delta x, y+\Delta y)$ （ただし $0 \lt \Delta x \ll 1$ ）を考えると、

$$\begin{aligned} \Delta y \simeq y'(x) \Delta x \end{aligned}$$

であり、この2点間の距離 $\Delta l$ は

$$\begin{aligned} \Delta l &= \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \\ &\simeq \Delta x \sqrt{1 + y'(x)^2} \end{aligned}$$

である。 さらに、この2点の間を通るときの光の速さは $c / n(x,y)$ とみなせるので、 要する時間 $\Delta t$ は

$$\begin{aligned} \Delta t &= \frac{\Delta l}{\frac{c}{n(x,y)}} \\ &\simeq \frac{n(x,y)}{c} \Delta x \sqrt{1 + y'(x)^2} \end{aligned}$$

である。 よって、

$$\begin{aligned} T &= \int_{x_1}^{x_2} \frac{n(x,y)}{c} \sqrt{1 + y'(x)^2} dx \end{aligned}$$

であり、題意のように書ける。

(イ)

$$\begin{aligned} L \left( x, \bar{y} + \epsilon h, \bar{y}' + \epsilon h' \right) \simeq L \left( x, \bar{y}, \bar{y}' \right) + \epsilon h(x) \frac{\partial L}{\partial y} (x,\bar{y},\bar{y}') + \epsilon h'(x) \frac{\partial L}{\partial y'} (x,\bar{y},\bar{y}') \end{aligned}$$

であるから、 $T$ が $y=\bar{y}(x)$ で停留値をとるための条件は

$$\begin{aligned} 0 &= \int_{x_1}^{x_2} L \left( x, \bar{y}(x) + \epsilon h(x), \bar{y}'(x) + \epsilon h'(x) \right) dx - \int_{x_1}^{x_2} L \left( x, \bar{y}(x), \bar{y}'(x) \right) dx \\ &\simeq \epsilon \int_{x_1}^{x_2} \left\{ h(x) \frac{\partial L}{\partial y} (x,\bar{y}(x),\bar{y}'(x)) + h'(x) \frac{\partial L}{\partial y'} (x,\bar{y}(x),\bar{y}'(x)) \right\} dx \\ &= \epsilon \left[ h(x) \frac{\partial L}{\partial y'} (x,\bar{y}(x),\bar{y}'(x)) \right]_{x_1}^{x_2} + \epsilon \int_{x_1}^{x_2} \left\{ h(x) \frac{\partial L}{\partial y} (x,\bar{y}(x),\bar{y}'(x)) - h(x) \frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial y'} (x,\bar{y}(x),\bar{y}'(x)) \right\} dx \\ &= \epsilon \int_{x_1}^{x_2} h(x) \left\{ \frac{\partial L}{\partial y} (x,\bar{y}(x),\bar{y}'(x)) - \frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial y'} (x,\bar{y}(x),\bar{y}'(x)) \right\} dx \end{aligned}$$

であり、 (3) が成り立つことがわかる。

(ウ)

今の場合

$$\begin{aligned} L \left( x, y, y' \right) &= \frac{n_0}{c} \sqrt{ 1 + y'^2 } \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial y'} &= \frac{n_0}{c} \frac{d}{dx} \frac{y'}{\sqrt{ 1 + y'^2 }} \\ &= \frac{n_0}{c} \frac{y''}{\left( 1 + y'^2 \right)^\frac{3}{2}} , \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= 0 \end{aligned}$$

であるから、 (4) は

$$\begin{aligned} y''(x) = 0 \end{aligned}$$

となり、これの解は点 $P_1, P_2$ を通る直線であることがわかる。

(問 2)

(ア)

$x_1 \lt x \lt x_0$ において

$$\begin{aligned} y' &= \frac{-y_1}{x_0-x_1} \\ &= - \tan \theta_1 \end{aligned}$$

であるから、 $0 \lt \theta_1 \lt \pi/2$ であることを考慮して、

$$\begin{aligned} \sin \theta_1 &= \frac{\tan \theta_1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta_1}} \\ &= - \frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}} \end{aligned}$$

がわかる。

(イ)

$$\begin{aligned} T &= \frac{n_1}{c} \int_{x_1}^{x_0} \sqrt{1 + y'^2} dx + \frac{n_2}{c} \int_{x_0}^{x_2} \sqrt{1 + y'^2} dx \end{aligned}$$

(ウ)

問題文の意図通りでないかもしれないが、次のようにして導くことができる。

屈折する点を $(x_0,y_0) \ (y_2 \lt y_0 \lt y_1)$ とする。 媒質 1 を通る時間 $T_1$ と媒質 2 を通る時間 $T_2$ は

$$\begin{aligned} T_1 &= \frac{n_1}{c} \sqrt{ (x_0-x_1)^2 + (y_0-y_1)^2 } , \\ T_2 &= \frac{n_2}{c} \sqrt{ (x_2-x_0)^2 + (y_2-y_0)^2 } \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} T &= T_1 + T_2 \\ &= \frac{n_1}{c} \sqrt{ (x_0-x_1)^2 + (y_0-y_1)^2 } + \frac{n_2}{c} \sqrt{ (x_2-x_0)^2 + (y_2-y_0)^2 } \end{aligned}$$

である。 停留性の条件

$$\begin{aligned} 0 &= \frac{dT}{dy_0} \\ &= \frac{n_1}{c} \frac{y_0-y_1}{\sqrt{ (x_0-x_1)^2 + (y_0-y_1)^2 }} + \frac{n_2}{c} \frac{y_0-y_2}{\sqrt{ (x_2-x_0)^2 + (y_2-y_0)^2 }} \\ &= \frac{1}{c} \left( - n_1 \sin \theta_1 + n_2 \sin \theta_2 \right) \end{aligned}$$

から、スネルの法則

$$\begin{aligned} n_1 \sin \theta_1 &= n_2 \sin \theta_2 \end{aligned}$$

が導かれる。