大阪大学 工学研究科 環境・エネルギー工学科 2019年8月実施 数学 (3)

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• Osaka-University
• Standard-Error-of-Sample-Mean
• Expectation-and-Variance
• Bayes-Theorem

Author

Miyake

Description

题目描述

原文题干缺失，以下依据现有解答整理。

1. 关于样本均值回答：
   1. 总体标准差为 $\sigma_x$，取 16 个独立样本，样本均值记为 $\bar X$。在近似正态条件下，估计 $P(|\bar X-E[X]|\ge0.5\sigma_x);$
   2. 说明增大样本数为何能提高样本均值的精度；
   3. 设 $\bar X,\bar Y$ 来自两个相互独立的样本，样本量分别为 $M,N$，总体均值为 $X,Y$、方差为 $\sigma_x^2,\sigma_y^2$。求乘积估计量 $\bar X\bar Y$ 的标准差。
2. 第 (b) 问题干与解答均缺失。
3. 设 $H_1,\ldots,H_K$ 构成样本空间的一个划分，$A$ 为事件。
   1. 写出条件概率 $P(A\mid H_k)$；
   2. 证明全概率公式；
   3. 推导 Bayes 公式 $P(H_k\mid A)$。

Kai

(a)

(i)

$\bar{X}$ の標準偏差は、

$$\begin{aligned} \frac{\sigma_x}{\sqrt{16}} = \frac{\sigma_x}{4} \end{aligned}$$

なので、 $\sigma_x$ の0.5倍以上ずれるということは、 標準偏差の2倍以上ずれるということであり、 その確率は約0.02である。

(ii)

標本数を増やすと、 $\bar{X}$ の標準偏差が減少するから。

(iii)

$\bar{X}$ の期待値は $X$ で分散は $\sigma_x^2 / M$ であり、 $\bar{Y}$ の期待値は $Y$ で分散は $\sigma_y^2 / N$ であり、 $\bar{X}$ と $\bar{Y}$ は独立である。 よって、 $\bar{X} \bar{Y}$ の分散は、

$$\begin{aligned} V \left( \bar{X} \bar{Y} \right) &= E \left( \bar{X}^2 \bar{Y}^2 \right) - E \left( \bar{X} \bar{Y} \right)^2 \\ &= E \left( \bar{X}^2 \right) E \left( \bar{Y}^2 \right) - E \left( \bar{X} \right)^2 E \left(\bar{Y} \right)^2 \\ &= \left( \sigma_x^2 + X^2 \right) \left( \sigma_y^2 + Y^2 \right) - X^2 Y^2 \\ &= \sigma_x^2 \sigma_y^2 + \sigma_x^2 Y^2 + \sigma_y^2 X^2 \end{aligned}$$

であり、標準偏差は、

$$\begin{aligned} \sqrt{\sigma_x^2 \sigma_y^2 + \sigma_x^2 Y^2 + \sigma_y^2 X^2} \end{aligned}$$

である。

(b)

((c))

(i)

$$\begin{aligned} P ( A \mid H_k ) = \frac{P(A \cap H_k)}{P(H_k)} \end{aligned}$$

(ii)

$$\begin{aligned} P(A) &= \sum_{k=1}^K P ( A \cap H_k ) \\ &= \sum_{k=1}^K P ( A \mid H_k ) P(H_k) \end{aligned}$$

(iii)

$$\begin{aligned} P ( H_k \mid A ) &= \frac{P(A \cap H_k)}{P(A)} \\ &= \frac{P ( A \mid H_k ) P(H_k)} {\sum_{l=1}^K P ( A \mid H_l ) P(H_l)} \end{aligned}$$