大阪大学 工学研究科 環境・エネルギー工学科 2019年8月実施 数学 (2)

标签：

• Osaka-University
• Vandermonde-Determinant
• Cramers-Rule

Author

Miyake

Description

题目描述

原文题干缺失，以下依据现有解答整理。

1. 计算
   $$\det\begin{pmatrix} 1&a^2&(b+c)^2\\ 1&b^2&(c+a)^2\\ 1&c^2&(a+b)^2 \end{pmatrix}$$
   并将结果因式分解。
2. 第 (b) 问题干与解答均缺失。
3. 设 $a,b,c$ 两两不同且均非零，解线性方程组
   $$\begin{pmatrix} a&b&c\\ a^2&b^2&c^2\\ a^3&b^3&c^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k\\k^2\\k^3\end{pmatrix}.$$

考点

• 行列式变换与因式分解：通过行相减提取差因子。
• Vandermonde 型行列式：识别变量差乘积结构。
• Cramer 法则：用替换列行列式表示线性方程组解。

Kai

(a)

$$\begin{aligned} \det A &= \det \begin{pmatrix} 1 & a^2 & (b+c)^2 \\ 1 & b^2 & (c+a)^2 \\ 1 & c^2 & (a+b)^2 \end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} 1 & a^2 & (b+c)^2 \\ 0 & b^2 - a^2 & (c+a)^2 - (b+c)^2 \\ 0 & c^2 - a^2 & (a+b)^2 - (b+c)^2 \end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} (b+a)(b-a) & (a+b+2c)(a-b) \\ (c+a)(c-a) & (a+2b+c)(a-c) \end{pmatrix} \\ &= (a-b)(c-a) \det \begin{pmatrix} - (b+a) & a+b+2c \\ (c+a) & -(a+2b+c) \end{pmatrix} \\ &= (a-b)(c-a) \left\{ (b+a)(a+2b+c) - (a+b+2c)(c+a) \right\} \\ &= 2(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a) \end{aligned}$$

(b)

((c))

まず、

$$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{pmatrix} &= \det \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & b(b-a) & c(c-a) \\ 0 & b(b^2-a^2) & c(c^2-a^2) \end{pmatrix} \\ &= a \det \begin{pmatrix} b(b-a) & c(c-a) \\ b(b+a)(b-a) & c(c+a)(c-a) \end{pmatrix} \\ &= abc(b-a)(c-a) \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ b+a & c+a \end{pmatrix} \\ &= abc(a-b)(b-c)(c-a) \end{aligned}$$

であり、同様にして、

$$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} k & b & c \\ k^2 & b^2 & c^2 \\ k^3 & b^3 & c^3 \end{pmatrix} &= kbc(k-b)(b-c)(c-k) \\ \det \begin{pmatrix} a & k & c \\ a^2 & k^2 & c^2 \\ a^3 & k^3 & c^3 \end{pmatrix} &= akc(a-k)(k-c)(c-a) \\ \det \begin{pmatrix} a & b & k \\ a^2 & b^2 & k^2 \\ a^3 & b^3 & k^3 \end{pmatrix} &= abk(a-b)(b-k)(k-a) \end{aligned}$$

である。 よって、クラメルの公式より、求める解は、

$$\begin{aligned} x &= \frac{k(k-b)(c-k)}{a(a-b)(c-a)} \\ y &= \frac{k(a-k)(k-c)}{b(a-b)(b-c)} \\ z &= \frac{k(b-k)(k-a)}{c(b-c)(c-a)} \end{aligned}$$

である。