大阪大学工学研究科環境・エネルギー工学科 2019年8月実施数学 (2)

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（2）以下の問に答えなさい。計算の過程も記すこと。

(a) 以下の行列 $A$ の行列式を求め、因数分解しなさい。

A=\begin{pmatrix}1&a^2&(b+c)^2\\1&b^2&(c+a)^2\\1&c^2&(a+b)^2\end{pmatrix}.

(b) 以下の行列 $B$ の $n$ 乗を求めなさい。ただし、 $(p,q)\ne(0,0)$ とする。

B=\begin{pmatrix}1-p&q\\p&1-q\end{pmatrix}.

\begin{cases} ax+by+cz=k,\\ a^2x+b^2y+c^2z=k^2,\\ a^3x+b^3y+c^3z=k^3. \end{cases}

（2）回答以下问题，写出计算过程。

(a) 求下列矩阵 $A$ 的行列式并因式分解。

A=\begin{pmatrix}1&a^2&(b+c)^2\\1&b^2&(c+a)^2\\1&c^2&(a+b)^2\end{pmatrix}.

(b) 求下列矩阵 $B$ 的 $n$ 次幂，其中 $(p,q)\ne(0,0)$ 。

B=\begin{pmatrix}1-p&q\\p&1-q\end{pmatrix}.

\begin{cases} ax+by+cz=k,\\ a^2x+b^2y+c^2z=k^2,\\ a^3x+b^3y+c^3z=k^3. \end{cases}

\begin{gathered} \det A = \det \begin{pmatrix} 1 & a^2 & (b+c)^2 \\ 1 & b^2 & (c+a)^2 \\ 1 & c^2 & (a+b)^2 \end{pmatrix} \\ = \det \begin{pmatrix} 1 & a^2 & (b+c)^2 \\ 0 & b^2 - a^2 & (c+a)^2 - (b+c)^2 \\ 0 & c^2 - a^2 & (a+b)^2 - (b+c)^2 \end{pmatrix} \\ = \det \begin{pmatrix} (b+a)(b-a) & (a+b+2c)(a-b) \\ (c+a)(c-a) & (a+2b+c)(a-c) \end{pmatrix} \\ = (a-b)(c-a) \det \begin{pmatrix} - (b+a) & a+b+2c \\ (c+a) & -(a+2b+c) \end{pmatrix} \\ = (a-b)(c-a) \left\{ (b+a)(a+2b+c) - (a+b+2c)(c+a) \right\} \\ = 2(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a) \end{gathered}

$s=p+q$ とし、

N=B-I=\begin{pmatrix}-p&q\\p&-q\end{pmatrix}

と置く。直接計算すると $N^2=-sN$ である。したがって、 $k\ge1$ に対して $N^k=(-s)^{k-1}N$ が成り立つ。 $n=0$ では $B^0=I$ であり、以下では $n\ge1$ とする。

$s\ne0$ の場合、二項定理より

\begin{aligned} B^n&=(I+N)^n\\ &=I+\left[\sum_{k=1}^n\binom nk(-s)^{k-1}\right]N\\ &=I+\frac{1-(1-s)^n}{s}N. \end{aligned}

よって、 $r=(1-p-q)^n$ と書けば、

\boxed{B^n=\frac1{p+q} \begin{pmatrix} q+pr&q(1-r)\\ p(1-r)&p+qr \end{pmatrix}} \qquad(p+q\ne0).

$(p,q)\ne(0,0)$ であっても $p+q=0$ の場合がある。この場合は $N^2=0$ なので、

\boxed{B^n=I+nN= \begin{pmatrix} 1-np&nq\\ np&1-nq \end{pmatrix}} \qquad(p+q=0).

まず、

\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{pmatrix} &= \det \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & b(b-a) & c(c-a) \\ 0 & b(b^2-a^2) & c(c^2-a^2) \end{pmatrix} \\ &= a \det \begin{pmatrix} b(b-a) & c(c-a) \\ b(b+a)(b-a) & c(c+a)(c-a) \end{pmatrix} \\ &= abc(b-a)(c-a) \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ b+a & c+a \end{pmatrix} \\ &= abc(a-b)(b-c)(c-a) \end{aligned}

であり、同様にして、

\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} k & b & c \\ k^2 & b^2 & c^2 \\ k^3 & b^3 & c^3 \end{pmatrix} &= kbc(k-b)(b-c)(c-k) \\ \det \begin{pmatrix} a & k & c \\ a^2 & k^2 & c^2 \\ a^3 & k^3 & c^3 \end{pmatrix} &= akc(a-k)(k-c)(c-a) \\ \det \begin{pmatrix} a & b & k \\ a^2 & b^2 & k^2 \\ a^3 & b^3 & k^3 \end{pmatrix} &= abk(a-b)(b-k)(k-a) \end{aligned}

である。よって、クラメルの公式より、求める解は、

\begin{aligned} x &= \frac{k(k-b)(c-k)}{a(a-b)(c-a)} \\ y &= \frac{k(a-k)(k-c)}{b(a-b)(b-c)} \\ z &= \frac{k(b-k)(k-a)}{c(b-c)(c-a)} \end{aligned}

である。