大阪大学 工学研究科 環境・エネルギー工学科 2019年8月実施 数学 (1)

标签：

• Osaka-University
• Taylor-Series
• Gradient-Divergence-and-Curl
• Second-Order-Linear-Ordinary-Differential-Equation
• Method-of-Undetermined-Coefficients

Author

Miyake

Description

题目描述

原文题干缺失，以下依据现有解答整理。

1. 对 $f(x)=e^x$，求其在 $x=a$ 附近的 Taylor 级数。
2. 对常数 $a>0$，求 $f(x)=a^x$ 的导数。
3. 设 $h(x,y)$ 为可微函数。
   1. 写出梯度 $\operatorname{grad}h(x,y)$；
   2. 证明在正则点 $(X,Y)$，梯度与等高线 $h(x,y)=c$ 的切线正交。
4. 对微分方程 $y''-5y'+4y=k,$
   1. 求对应齐次方程的特征根；
   2. 求非齐次方程的通解。

Kai

(a)

$k=1,2,\cdots$ について、 $k$ 階導関数は

$$\begin{aligned} f^{(k)}(x) &= e^x \end{aligned}$$

であり、 $x=a$ における $k$ 階微分係数は

$$\begin{aligned} f^{(k)}(a) &= e^a \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{e^a}{k!} (x-a)^k \end{aligned}$$

である。

(b)

$$\begin{aligned} f(x) &= a^x \\ &= e^{x \log a} \\ \therefore \ \ f'(x) &= e^{x \log a} \cdot \log a \\ &= a^x \log a \end{aligned}$$

((c))

(i)

$$\begin{aligned} \mathrm{grad} \ h(x,y) = \frac{\partial h(x,y)}{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial h(x,y)}{\partial y} \boldsymbol{j} \end{aligned}$$

(ii)

等高線 $h(x,y)=c$ 上の点 $(X,Y)$ における接線の方程式は、

$$\begin{aligned} \frac{\partial h(X,Y)}{\partial x} (x-X) + \frac{\partial h(X,Y)}{\partial y} (y-Y) = 0 \end{aligned}$$

であるが、これは $\mathrm{grad} \ h(X,Y)$ とベクトル $(x-X) \boldsymbol{i} + (y-Y) \boldsymbol{j}$ が直交していることを意味し、 つまり、 $\mathrm{grad} \ h(X,Y)$ と等位線が $(X,Y)$ において直交していることを意味する。

(d)

(i)

特性方程式は、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - 5 \lambda + 4 = 0 \end{aligned}$$

であり、特性根は、

$$\begin{aligned} \lambda = 1, 4 \end{aligned}$$

である。

(ii)

特殊解として、定数解

$$\begin{aligned} y = \frac{k}{4} \end{aligned}$$

があるのは明らかなので、 (i) を考慮し、任意定数を $A, B$ として、

$$\begin{aligned} y = A e^x + B e^{4x} + \frac{k}{4} \end{aligned}$$

が一般解である。

実際、これは、

$$\begin{aligned} y' &= A e^x + 4B e^{4x} \\ y'' &= A e^x + 16B e^{4x} \end{aligned}$$

となり、

$$\begin{aligned} y'' - 5 y' + 4 y = k \end{aligned}$$

を満たす。