大阪大学 工学研究科 環境・エネルギー工学科 2019年8月実施 数学 (1)

标签：

• 大阪大学
• 泰勒级数
• 梯度、散度与旋度
• 二阶线性常微分方程
• 待定系数法

Author

Miyake

Description

（1）以下の問に答えなさい。計算の過程も記すこと。

(a) $f(x)=e^x$ を、$x=a$（$a$ は実数とする）の周りでのテイラー級数で表しなさい。

(b) $f(x)=a^x$（$a$ は正の実数とする）の導関数 $f'(x)$ を求めなさい。ただし導関数を求める過程も示すこと。

(c) 2次元直交座標系を用いて2次元空間内のある点の座標を $(x,y)$ で表すとする。この空間内の座標によって大きさが変化する関数（スカラー場）を $h(x,y)$ で表現するとき、以下の問に答えなさい。

(i) $h(x,y)$ の座標 $(x,y)$ での勾配を表すベクトル場（$\operatorname{grad}h(x,y)$）を $\boldsymbol i$ と $\boldsymbol j$ を用いて表しなさい。ここで $\boldsymbol i$ と $\boldsymbol j$ は、それぞれ $x$ 軸の正の向きおよび $y$ 軸の正の向きの単位ベクトルである。

(ii) $\operatorname{grad}h(x,y)$ は、座標 $(x,y)$ を通る等位線に直交していることを示しなさい。ここで等位線とは、関数値が一定である線であり $h(x,y)=c$（$c$ は定数）と表現できる。

(d) $y$ は変数 $x$ の関数であり、$y'$ および $y''$ は、それぞれ関数 $y$ の変数 $x$ による1階微分および2階微分を表している。このとき次の微分方程式について、以下の問に答えなさい。

$$y''-5y'+4y=k,$$

ただし $k$ は定数とする。

(i) 特性方程式を示し、特性根を求めなさい。

(ii) 特解（特殊解）も含めた一般解を求めなさい。

题目描述

（1）回答以下问题，写出计算过程。

(a) 将 $f(x)=e^x$ 在 $x=a$（$a$ 为实数）附近展开为泰勒级数。

(b) 求 $f(x)=a^x$（$a$ 为正实数）的导数 $f'(x)$，并给出求导过程。

(c) 用二维直角坐标系中的 $(x,y)$ 表示二维空间内一点的位置，用 $h(x,y)$ 表示随位置而变化的函数（标量场），回答以下问题。

(i) 用 $\boldsymbol i,\boldsymbol j$ 表示 $h(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处的梯度向量场 $\operatorname{grad}h(x,y)$。其中 $\boldsymbol i,\boldsymbol j$ 分别为 $x$ 轴正向和 $y$ 轴正向的单位向量。

(ii) 证明 $\operatorname{grad}h(x,y)$ 与经过 $(x,y)$ 的等位线正交。等位线指函数值不变的曲线，可表示为 $h(x,y)=c$，其中 $c$ 为常数。

(d) $y$ 为 $x$ 的函数，$y',y''$ 分别表示其对 $x$ 的一阶、二阶导数。对于方程

$$y''-5y'+4y=k,$$

其中 $k$ 为常数，回答以下问题。

(i) 写出特征方程并求特征根。

(ii) 求包含特解的通解。

Kai

(a)

$k=1,2,\cdots$ について、 $k$ 階導関数は

$$\begin{aligned} f^{(k)}(x) &= e^x \end{aligned}$$

であり、 $x=a$ における $k$ 階微分係数は

$$\begin{aligned} f^{(k)}(a) &= e^a \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{e^a}{k!} (x-a)^k \end{aligned}$$

である。

(b)

$$\begin{aligned} f(x) &= a^x \\ &= e^{x \log a} \\ \therefore \ \ f'(x) &= e^{x \log a} \cdot \log a \\ &= a^x \log a \end{aligned}$$

($c$)

(i)

$$\begin{aligned} \mathrm{grad} \ h(x,y) = \frac{\partial h(x,y)}{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial h(x,y)}{\partial y} \boldsymbol{j} \end{aligned}$$

(ii)

等高線 $h(x,y)=c$ 上の点 $(X,Y)$ における接線の方程式は、

$$\begin{aligned} \frac{\partial h(X,Y)}{\partial x} (x-X) + \frac{\partial h(X,Y)}{\partial y} (y-Y) = 0 \end{aligned}$$

であるが、これは $\mathrm{grad} \ h(X,Y)$ とベクトル $(x-X) \boldsymbol{i} + (y-Y) \boldsymbol{j}$ が直交していることを意味し、 つまり、 $\mathrm{grad} \ h(X,Y)$ と等位線が $(X,Y)$ において直交していることを意味する。

(d)

(i)

特性方程式は、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - 5 \lambda + 4 = 0 \end{aligned}$$

であり、特性根は、

$$\begin{aligned} \lambda = 1, 4 \end{aligned}$$

である。

(ii)

特殊解として、定数解

$$\begin{aligned} y = \frac{k}{4} \end{aligned}$$

があるのは明らかなので、 (i) を考慮し、任意定数を $A, B$ として、

$$\begin{aligned} y = A e^x + B e^{4x} + \frac{k}{4} \end{aligned}$$

が一般解である。

実際、これは、

$$\begin{aligned} y' &= A e^x + 4B e^{4x} \\ y'' &= A e^x + 16B e^{4x} \end{aligned}$$

となり、

$$\begin{aligned} y'' - 5 y' + 4 y = k \end{aligned}$$

を満たす。

• 大阪大学 電気電子情報工学専攻 公式過去問（2019年度実施）