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大阪大学 工学研究科 環境・エネルギー工学科 2019年8月実施 数学 (1)

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Author​

Miyake

Description​

題意の要約（暫定）​

  1. f(x)=exf(x)=e^x の x=ax=a における Taylor 展開を求めよ。
  2. 定数 a>0a>0 に対し、f(x)=axf(x)=a^x の導関数を求めよ。
  3. h(x,y)h(x,y) を微分可能な関数とする。
    1. 勾配 grad⁡h(x,y)\operatorname{grad}h(x,y) を書け。
    2. 正則点 (X,Y)(X,Y) において、勾配が等高線 h(x,y)=ch(x,y)=c の接線と直交することを示せ。
  4. 微分方程式 y′′−5y′+4y=k,y''-5y'+4y=k, について、次の問いに答えよ。
    1. 対応する同次方程式の特性根を求めよ。
    2. 非同次方程式の一般解を求めよ。

题目描述​

  1. 对 f(x)=exf(x)=e^x，求其在 x=ax=a 附近的 Taylor 级数。
  2. 对常数 a>0a>0，求 f(x)=axf(x)=a^x 的导数。
  3. 设 h(x,y)h(x,y) 为可微函数。
    1. 写出梯度 grad⁡h(x,y)\operatorname{grad}h(x,y)；
    2. 证明在正则点 (X,Y)(X,Y)，梯度与等高线 h(x,y)=ch(x,y)=c 的切线正交。
  4. 对微分方程 y′′−5y′+4y=k,y''-5y'+4y=k,
    1. 求对应齐次方程的特征根；
    2. 求非齐次方程的通解。

Kai​

(a)​

k=1,2,⋯k=1,2,\cdots について、 kk 階導関数は

f(k)(x)=ex\begin{aligned} f^{(k)}(x) &= e^x \end{aligned}

であり、 x=ax=a における kk 階微分係数は

f(k)(a)=ea\begin{aligned} f^{(k)}(a) &= e^a \end{aligned}

なので、

f(x)=∑k=0∞eak!(x−a)k\begin{aligned} f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{e^a}{k!} (x-a)^k \end{aligned}

である。

(b)​

f(x)=ax=exlog⁡a∴  f′(x)=exlog⁡a⋅log⁡a=axlog⁡a\begin{aligned} f(x) &= a^x \\ &= e^{x \log a} \\ \therefore \ \ f'(x) &= e^{x \log a} \cdot \log a \\ &= a^x \log a \end{aligned}

(cc)​

(i)​

grad h(x,y)=∂h(x,y)∂xi+∂h(x,y)∂yj\begin{aligned} \mathrm{grad} \ h(x,y) = \frac{\partial h(x,y)}{\partial x} \boldsymbol{i} + \frac{\partial h(x,y)}{\partial y} \boldsymbol{j} \end{aligned}

(ii)​

等高線 h(x,y)=ch(x,y)=c 上の点 (X,Y)(X,Y) における接線の方程式は、

∂h(X,Y)∂x(x−X)+∂h(X,Y)∂y(y−Y)=0\begin{aligned} \frac{\partial h(X,Y)}{\partial x} (x-X) + \frac{\partial h(X,Y)}{\partial y} (y-Y) = 0 \end{aligned}

であるが、これは grad h(X,Y)\mathrm{grad} \ h(X,Y) とベクトル (x−X)i+(y−Y)j(x-X) \boldsymbol{i} + (y-Y) \boldsymbol{j} が直交していることを意味し、 つまり、 grad h(X,Y)\mathrm{grad} \ h(X,Y) と等位線が (X,Y)(X,Y) において直交していることを意味する。

(d)​

(i)​

特性方程式は、

λ2−5λ+4=0\begin{aligned} \lambda^2 - 5 \lambda + 4 = 0 \end{aligned}

であり、特性根は、

λ=1,4\begin{aligned} \lambda = 1, 4 \end{aligned}

である。

(ii)​

特殊解として、定数解

y=k4\begin{aligned} y = \frac{k}{4} \end{aligned}

があるのは明らかなので、 (i) を考慮し、任意定数を A,BA, B として、

y=Aex+Be4x+k4\begin{aligned} y = A e^x + B e^{4x} + \frac{k}{4} \end{aligned}

が一般解である。

実際、これは、

y′=Aex+4Be4xy′′=Aex+16Be4x\begin{aligned} y' &= A e^x + 4B e^{4x} \\ y'' &= A e^x + 16B e^{4x} \end{aligned}

となり、

y′′−5y′+4y=k\begin{aligned} y'' - 5 y' + 4 y = k \end{aligned}

を満たす。

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