大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2018年8月実施 熱工学 問題2

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• 肋片传热

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問題2（解答用紙：白）

下図に示すように、壁1と壁2の間に固定された円柱の定常状態における熱輸送を考える。壁1と壁2は平行であり、円柱の中心軸はそれらに垂直である。壁1からの距離を $x$ として、円柱の軸方向に $x$ 軸をとる。円柱の長さを $L$、壁1と壁2に接する円柱の直径をそれぞれ $D_1$ と $D_2$（$D_2\le D_1$）とし、円柱の直径 $D(x)$ は、距離 $x$ の関数として $D(x)=D_1-\{(D_1-D_2)x\}/L$ で表されるものとする。円柱の断面内の温度は一様であり、軸方向にのみ温度分布 $T(x)$ が形成され、円柱内の熱伝導を $x$ 軸方向の一次元定常熱伝導として扱えるものとする。壁1と接する面から一様な熱流束 $q_1$ で円柱に熱が流入し、壁2と接する面における円柱の温度 $T_2$ を一定とする。円柱の熱伝導率を $k$、円柱の周囲流体の熱伝導率を $0.01k$、円柱から十分に離れた周囲流体の温度を $T_2$ とする。円柱と壁1および壁2の間の接触熱抵抗ならびにふく射の影響は無視するものとして、以下の問いに答えなさい。

(1) 円柱と周囲流体との間に熱の出入りがない場合を考える。

(1-1) 円柱の位置 $x$ における $x$ 軸方向の熱流束 $q(x)$ を $x,L,D_1,D_2,q_1$ のうち必要な記号を用いて表しなさい。

(1-2) 円柱の温度分布 $T(x)$ を $x,L,D_1,D_2,q_1,k,T_2$ のうち必要な記号を用いて表しなさい。

(2) 円柱と周囲流体との間に熱の出入りがある場合を考える。位置 $x$ における円柱表面上の熱伝達率を $h_x$ とする。

(2-1) 熱エネルギーの保存から円柱の温度分布 $T(x)$ を求める微分方程式を境界条件とともに示しなさい。

(2-2) $D_2=D_1$、円柱表面上のヌセルト数（$\mathrm{Nu}$）が $\mathrm{Nu}=1$ であるとき、円柱表面上の熱伝達率 $h_x$ を $D_1,k$ を用いて表しなさい。ただし、円柱直径を代表長さとして円柱表面上のヌセルト数 $\mathrm{Nu}$ を定義し、円柱表面上のヌセルト数は、位置 $x$ および円柱の上部、側面部、下部などの周方向位置によらず一定であるとする。

(2-3) 小問 (2-2) における $x=0$ における円柱の温度を $x,L,D_1,q_1,k,T_2$ のうち必要な記号を用いて表しなさい。

(2-4) 小問 (2-2) における円柱表面から周囲流体への伝熱量 $Q_1$、円柱から壁2への伝熱量 $Q_2$ を $x,L,D_1,q_1,k,T_2$ のうち必要な記号を用いて、それぞれ表しなさい。

题目描述

问题2（使用白色答题纸）

如图，考虑固定于墙1和墙2之间的圆柱在稳态下的热输运。两墙平行，圆柱中心轴与两墙垂直。以到墙1的距离为 $x$，沿圆柱轴向取 $x$ 轴。圆柱长为 $L$，与墙1、墙2接触处的直径分别为 $D_1,D_2$（$D_2\le D_1$），直径随距离的变化为 $D(x)=D_1-\{(D_1-D_2)x\}/L$。各截面内温度均匀，温度分布 $T(x)$ 只沿轴向变化，可将圆柱内导热视为沿 $x$ 轴的一维稳态导热。热量以均匀热流密度 $q_1$ 从墙1接触面流入圆柱，圆柱与墙2接触面的温度 $T_2$ 保持不变。圆柱导热系数为 $k$，周围流体导热系数为 $0.01k$，远离圆柱处流体温度为 $T_2$。忽略圆柱与两墙间的接触热阻和辐射影响。回答下列问题。

(1) 考虑圆柱与周围流体之间没有热交换的情形。

(1-1) 从 $x,L,D_1,D_2,q_1$ 中选用所需符号，表示位置 $x$ 处沿 $x$ 轴方向的热流密度 $q(x)$。

(1-2) 从 $x,L,D_1,D_2,q_1,k,T_2$ 中选用所需符号，表示圆柱的温度分布 $T(x)$。

(2) 考虑圆柱与周围流体之间有热交换的情形，位置 $x$ 处圆柱表面的换热系数为 $h_x$。

(2-1) 从热能守恒出发，给出求温度分布 $T(x)$ 的微分方程及边界条件。

(2-2) 当 $D_2=D_1$ 且圆柱表面努塞尔数 $\mathrm{Nu}=1$ 时，用 $D_1,k$ 表示表面换热系数 $h_x$。努塞尔数以圆柱直径为特征长度定义；它不随轴向位置 $x$ 或圆柱上部、侧部、下部等周向位置变化。

(2-3) 在 (2-2) 的情形下，从 $x,L,D_1,q_1,k,T_2$ 中选用所需符号，表示 $x=0$ 处圆柱的温度。

(2-4) 在 (2-2) 的情形下，从 $x,L,D_1,q_1,k,T_2$ 中选用所需符号，分别表示圆柱表面向周围流体的传热量 $Q_1$ 和圆柱向墙2的传热量 $Q_2$。

Kai

(1-1)

断面積を $A(x)=\pi D(x)^2/4$ とする。側面が断熱なら、軸方向の伝熱量は一定である。

$$q(x)A(x)=q_1\frac{\pi D_1^2}{4},\qquad \boxed{q(x)=q_1\frac{D_1^2}{D(x)^2}}.$$

(1-2)

フーリエの法則 $-kT'(x)=q(x)$ を $T(L)=T_2$ の下で積分すると、$D_1>D_2$ に対して

$$\boxed{T(x)=T_2+\frac{q_1D_1^2L}{k(D_1-D_2)} \left[\frac1{D_2}-\frac1{D(x)}\right]}.$$

同径の場合には極限を取って

$$\boxed{T(x)=T_2+\frac{q_1}{k}(L-x)\quad(D_1=D_2)}.$$

(2-1)

側面の面積要素を $dA_s=P_s(x)\,dx$ とする。円すい台の実際の側面積を用いる場合は

$$P_s(x)=\pi D(x)\sqrt{1+\frac14\left(\frac{dD}{dx}\right)^2}.$$

微小区間の伝導による流入と流出の差が側面からの放熱に等しいため

$$\begin{gathered} \boxed{\frac{d}{dx}\left[kA(x)\frac{dT}{dx}\right] -h_xP_s(x)(T-T_2)=0},\\ \boxed{-kT'(0)=q_1,\quad T(L)=T_2}. \end{gathered}$$

細いフィンとして側面の傾きを無視する近似では $P_s(x)=\pi D(x)$ と置く。以下の同径条件では両者は一致する。

(2-2)

ヌセルト数には流体の熱伝導率を用いるから

$$\mathrm{Nu}=\frac{h_xD_1}{0.01k}=1 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{h_x=h=\frac{0.01k}{D_1}}.$$

(2-3)

$\theta=T-T_2$、$A=\pi D_1^2/4$ とおくと

$$\theta''-m^2\theta=0,\qquad m^2=\frac{h\pi D_1}{kA}=\frac{0.04}{D_1^2},\qquad m=\frac{0.2}{D_1}.$$

境界条件 $-k\theta'(0)=q_1$、$\theta(L)=0$ を満たす解は

$$\theta(x)=\frac{q_1}{km}\frac{\sinh[m(L-x)]}{\cosh(mL)}.$$

よって

$$\boxed{T(0)=T_2+\frac{5q_1D_1}{k}\tanh\frac{L}{5D_1}}.$$

(2-4)

壁2への伝熱量は

$$\boxed{Q_2=-kA\theta'(L) =\frac{\pi D_1^2q_1}{4\cosh[L/(5D_1)]}}.$$

全入熱 $q_1A$ からこれを差し引けば、側面全体からの伝熱量は

$$\boxed{Q_1=\int_0^L h\pi D_1\theta(x)\,dx =\frac{\pi D_1^2q_1}{4}\left(1-\frac1{\cosh[L/(5D_1)]}\right)}.$$

ここで $Q_1,Q_2$ は定常の伝熱量、すなわち単位時間当たりの熱量である。