大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2019年度 熱工学 問題2

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• 肋片传热

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

平行な壁1と壁2の間に、軸が両壁に垂直な円柱状の棒を固定する。壁1から軸方向の距離を $x$、長さを $L$ とし、両端の直径を $D_1,D_2\,(D_2\le D_1)$ とする。直径は

$$D(x)=D_1-\frac{D_1-D_2}{L}x$$

である。各断面の温度は一様で、軸方向だけの一次元定常熱伝導とする。壁1から一様な熱流束 $q_1$ で熱が流入し、壁2に接する面の温度は $T_2$ に保たれる。棒の熱伝導率は $k$、周囲流体の熱伝導率は $0.01k$、遠方の流体温度は $T_2$ である。接触熱抵抗と放射を無視する。

(1) 側面と周囲流体との熱交換がない場合を考える。

• (1-1) 位置 $x$ の軸方向熱流束 $q(x)$ を求めよ。
• (1-2) 温度分布 $T(x)$ を求めよ。

(2) 側面の熱伝達率を $h_x$ として周囲流体と熱交換する場合を考える。

• (2-1) エネルギー保存則から $T(x)$ の微分方程式と境界条件を示せ。
• (2-2) $D_2=D_1$、直径を代表長さとするヌセルト数が $\mathrm{Nu}=1$ のとき、$h_x$ を求めよ。$\mathrm{Nu}$ は軸方向・周方向の位置によらない。
• (2-3) (2-2)の条件で $x=0$ の温度を求めよ。
• (2-4) (2-2)の条件で、側面から流体への全伝熱量 $Q_1$ と壁2への伝熱量 $Q_2$ を求めよ。

题目描述

长度 $L$ 的棒固定于两平行壁之间，直径从壁1的 $D_1$ 线性变化到壁2的 $D_2\le D_1$。令 $x$ 从壁1沿轴向量起，各截面等温，只考虑轴向一维稳态导热。壁1输入热流密度为 $q_1$，壁2温度固定为 $T_2$。棒与周围流体导热系数分别为 $k,0.01k$，远方流体温度为 $T_2$，忽略接触热阻和辐射。(1)侧面绝热时求热流密度与温度分布。(2)侧面换热系数为 $h_x$ 时，写出控制方程与边界条件；进一步令 $D_2=D_1$ 且以直径定义的 $\mathrm{Nu}=1$ 处处成立，求换热系数、壁1处棒温度、侧面总换热量及进入壁2的热量。

Kai

(1-1)

断面積を $A(x)=\pi D(x)^2/4$ とする。側面が断熱なら、軸方向の伝熱量は一定である。

$$q(x)A(x)=q_1\frac{\pi D_1^2}{4},\qquad \boxed{q(x)=q_1\frac{D_1^2}{D(x)^2}}.$$

(1-2)

フーリエの法則 $-kT'(x)=q(x)$ を $T(L)=T_2$ の下で積分すると、$D_1>D_2$ に対して

$$\boxed{T(x)=T_2+\frac{q_1D_1^2L}{k(D_1-D_2)} \left[\frac1{D_2}-\frac1{D(x)}\right]}.$$

同径の場合には極限を取って

$$\boxed{T(x)=T_2+\frac{q_1}{k}(L-x)\quad(D_1=D_2)}.$$

(2-1)

側面の面積要素を $dA_s=P_s(x)\,dx$ とする。円すい台の実際の側面積を用いる場合は

$$P_s(x)=\pi D(x)\sqrt{1+\frac14\left(\frac{dD}{dx}\right)^2}.$$

微小区間の伝導による流入と流出の差が側面からの放熱に等しいため

$$\boxed{\frac{d}{dx}\left[kA(x)\frac{dT}{dx}\right] -h_xP_s(x)(T-T_2)=0},\qquad \boxed{-kT'(0)=q_1,\quad T(L)=T_2}.$$

細いフィンとして側面の傾きを無視する近似では $P_s(x)=\pi D(x)$ と置く。以下の同径条件では両者は一致する。

(2-2)

ヌセルト数には流体の熱伝導率を用いるから

$$\mathrm{Nu}=\frac{h_xD_1}{0.01k}=1 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{h_x=h=\frac{0.01k}{D_1}}.$$

(2-3)

$\theta=T-T_2$、$A=\pi D_1^2/4$ とおくと

$$\theta''-m^2\theta=0,\qquad m^2=\frac{h\pi D_1}{kA}=\frac{0.04}{D_1^2},\qquad m=\frac{0.2}{D_1}.$$

境界条件 $-k\theta'(0)=q_1$、$\theta(L)=0$ を満たす解は

$$\theta(x)=\frac{q_1}{km}\frac{\sinh[m(L-x)]}{\cosh(mL)}.$$

よって

$$\boxed{T(0)=T_2+\frac{5q_1D_1}{k}\tanh\frac{L}{5D_1}}.$$

(2-4)

壁2への伝熱量は

$$\boxed{Q_2=-kA\theta'(L) =\frac{\pi D_1^2q_1}{4\cosh[L/(5D_1)]}}.$$

全入熱 $q_1A$ からこれを差し引けば、側面全体からの伝熱量は

$$\boxed{Q_1=\int_0^L h\pi D_1\theta(x)\,dx =\frac{\pi D_1^2q_1}{4}\left(1-\frac1{\cosh[L/(5D_1)]}\right)}.$$

ここで $Q_1,Q_2$ は定常の伝熱量、すなわち単位時間当たりの熱量である。