大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2019年度 力学 問題2

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• 刚体转动惯量
• 简谐运动

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図1のように、点 C で $45^\circ$ 間隔で交わる3本の直線 $L_1,L_2,L_3$ のすべてについて対称な、面密度一定で厚さを無視できる剛体板を考える。質量を $m$、C を通る板の法線まわりの慣性モーメントを $I$、重力加速度の大きさを $g$ とする。以下の振動は微小振幅であり、$\sin x\simeq x$ を用いてよい。

1. 図2のように、$L_1$ 上かつ板の内部にある A を通る板の法線まわりに自由振動させると、周期は $T_A$ であった。$CA=r_A$ とする。回転軸の摩擦を無視して、$I/m$ を求めよ。
2. 板の $L_1$ まわりの慣性モーメントが $I/2$ であることを示せ。
3. 図3のように、$L_3$ と平行で板と同一平面内にある直線 M のまわりに自由振動させる。$L_3$ と M の距離を $r$ とし、軸の摩擦を無視する。このときの周期 $T_M$ を求めよ。
4. $T_M$ が最小になる $r$ と、その最小周期を求めよ。
5. (4) の $r$ に対応する直線 M が、必ず板を通ることを示せ。

题目描述

如图，面密度均匀、厚度可忽略的刚性薄板，关于经过 C、两两相邻夹角为 $45^\circ$ 的三条直线 $L_1,L_2,L_3$ 均对称。质量为 $m$，绕 C 点法线的转动惯量为 $I$，重力加速度为 $g$。各问只考虑微小振幅，可使用 $\sin x\simeq x$。

1. 以薄板内部、位于 $L_1$ 上的 A 点法线为轴作自由摆动，测得周期 $T_A$。已知 $CA=r_A$，忽略轴摩擦，求 $I/m$。
2. 证明绕 $L_1$ 的转动惯量为 $I/2$。
3. 以板面内、与 $L_3$ 平行且相距 $r$ 的直线 M 为轴摆动，求周期 $T_M$。
4. 求使周期最小的 $r$ 及最小周期。
5. 证明该最优位置的转轴 M 必定穿过薄板。

Kai

(1)

対称性から重心は C にある。平行軸の定理により、A を通る法線まわりの慣性モーメントは $I_A=I+mr_A^2$。微小角 $\varphi$ の運動方程式は

$$(I+mr_A^2)\ddot\varphi+mgr_A\varphi=0.$$

従って

$$T_A=2\pi\sqrt{\frac{I+mr_A^2}{mgr_A}}, \qquad \boxed{\frac Im=\frac{gr_AT_A^2}{4\pi^2}-r_A^2}.$$

(2)

$L_2$ に関する鏡映は $L_1$ と $L_3$ を入れ替えるので、これらの軸まわりの慣性モーメントは等しい。薄板の垂直軸の定理から

$$I=I_{L_1}+I_{L_3},\qquad I_{L_1}=I_{L_3}.$$

ゆえに

$$\boxed{I_{L_1}=I_{L_3}=\frac I2}.$$

(3)

平行軸の定理より $I_M=I/2+mr^2$。安定なつり合い位置からの微小角を $\varphi$ とすると

$$\left(\frac I2+mr^2\right)\ddot\varphi+mgr\varphi=0.$$

従って

$$\boxed{T_M=2\pi\sqrt{\frac{I/2+mr^2}{mgr}} =2\pi\sqrt{\frac1g\left(\frac{I}{2mr}+r\right)}}.$$

(4)

$r>0$ において相加相乗平均の不等式を使うと

$$\frac{I}{2mr}+r\ge2\sqrt{\frac{I}{2m}},$$

等号条件は $r^2=I/(2m)$ である。よって

$$\boxed{r_*=\sqrt{\frac{I}{2m}}},\qquad \boxed{T_{M,\min}=2\pi\sqrt{\frac{2}{g}\sqrt{\frac{I}{2m}}}}.$$

(5)

板の各点の $L_3$ からの符号付き距離を $s$、その最大絶対値を $b$ とする。板は有限の面積を持つため

$$\frac I2=I_{L_3}=\int s^2\,dm<mb^2.$$

したがって

$$0<r_*^2=\frac{I}{2m}<b^2.$$

図1の一体の板は $L_3$ の両側に対称に広がり、$L_3$ から距離 $b$ の点まで連続している。従って $0<r_*<b$ の位置にある平行線 M は板と交わる。よって最小周期を与える軸は必ず板を通る。