大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2017年8月実施 熱工学 問題2

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• 理想气体的熵与热容

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問題2（解答用紙：白）

図に示すような摩擦および気体の漏れがない滑らかに動く二つのピストンと剛体棒で連結された二つのシリンダーがあり、二つのシリンダーは真空中に固定されておかれている。シリンダー1の断面積は $A$、シリンダー2の断面積は $2A$ である。剛体棒の両端のそれぞれのピストンは直線的に移動し変位が常に等しくなるようになっている。シリンダー1とシリンダー2には、それぞれ $n$ モルと $2n$ モルの理想気体が封入されている。ピストン、シリンダー、剛体棒の熱容量は無視でき、断熱材で構成されており、ピストンと剛体棒の質量は十分に小さいものとする。一般気体定数を $R_0$、この理想気体の比熱比を $\kappa$、全ての変化は準静的過程であるとして、以下の問いに答えなさい。

(1) シリンダー1とシリンダー2に封入された気体の温度がともに $T_1$ で等しく、シリンダー1内の気体の圧力が $p_1$ のとき、シリンダー2内の気体の圧力と体積を求めなさい。

(2) 小問 (1) の状態から、シリンダー1内の気体を加熱したところピストンが動いてシリンダー2内の気体の体積が半分になった。シリンダー2内の気体の状態変化が断熱過程であるとき、シリンダー1内の気体の圧力と温度を求めなさい。

(3) 小問 (2) の過程においてシリンダー1内の気体に与えられた熱量を求めなさい。

(4) 小問 (2) の過程においてシリンダー1内の気体とシリンダー2内の気体のエントロピーの変化量をそれぞれ求めなさい。

题目描述

问题2（使用白色答题纸）

如图，有两个固定于真空中的气缸，内有两个无摩擦、无漏气、可光滑运动的活塞，活塞通过刚性杆连接。气缸1的截面积为 $A$，气缸2为 $2A$。刚性杆两端的活塞作直线运动，位移始终相同。气缸1、2内分别封有 $n$ 摩尔和 $2n$ 摩尔的理想气体。活塞、气缸和刚性杆均由绝热材料构成，其热容量可以忽略；活塞和刚性杆的质量足够小。设通用气体常数为 $R_0$，理想气体的比热比为 $\kappa$，所有变化均为准静态过程。回答下列问题。

(1) 两气缸中气体的温度均为 $T_1$，气缸1中的压力为 $p_1$。求气缸2内气体的压力和体积。

(2) 从 (1) 的状态开始，加热气缸1内气体，活塞移动，使气缸2内气体的体积变为原来的一半。气缸2内的状态变化为绝热过程，求气缸1内气体的压力和温度。

(3) 求 (2) 的过程中传入气缸1内气体的热量。

(4) 分别求 (2) 的过程中气缸1和气缸2内气体的熵变。

Kai

(1)

ピストン系の力のつり合いより $p_1A=p_2(2A)$。したがって

$$\boxed{p_2=\frac{p_1}{2}},\qquad \boxed{V_2=\frac{2nR_0T_1}{p_2}=\frac{4nR_0T_1}{p_1}}.$$

また、$V_1=nR_0T_1/p_1$ より $V_2=4V_1$ である。

(2)

添字 $f$ を終状態に付す。変位が等しいため、体積変化は $\Delta V_2=-2\Delta V_1$ となる。$V_{2f}=V_2/2$ から

$$V_{1f}=V_1+\frac{V_2}{4}=2V_1.$$

気体2は可逆断熱圧縮されるので

$$p_{2f}=\frac{p_1}{2}2^\kappa,\qquad T_{2f}=2^{\kappa-1}T_1.$$

つり合いと気体1の状態方程式から

$$\boxed{p_{1f}=2^\kappa p_1},\qquad \boxed{T_{1f}=2^{\kappa+1}T_1}.$$

(3)

真空に対する外部仕事は零であり、二つの気体間の仕事は相殺される。$c_v=R_0/(\kappa-1)$ として

$$Q=nc_v(T_{1f}-T_1)+2nc_v(T_{2f}-T_1).$$

よって

$$\boxed{Q=\frac{nR_0T_1}{\kappa-1}\left(2^{\kappa+1}+2^\kappa-3\right)}.$$

(4)

気体1について

$$\Delta S_1=nc_v\log\frac{T_{1f}}{T_1} +nR_0\log\frac{V_{1f}}{V_1} =\boxed{\frac{2\kappa nR_0}{\kappa-1}\log2}.$$

気体2は可逆断熱変化なので

$$\boxed{\Delta S_2=0}.$$