大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2018年度 熱工学 問題2

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• 理想气体的熵与热容

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように、真空中に固定された二つのシリンダーのピストンを剛体棒で連結する。断面積はシリンダー1が $A$、2が $2A$ で、ピストン変位は常に等しい。封入された理想気体の量はそれぞれ $n$ モル、$2n$ モルである。ピストンは摩擦なく動き、気体漏れはない。ピストン・シリンダー・剛体棒は断熱材で熱容量を無視でき、ピストンと棒の質量は十分小さい。一般気体定数を $R_0$、比熱比を $\kappa$ とし、すべての変化は準静的とする。

1. 両気体の温度が $T_1$ で等しく、シリンダー1の圧力が $p_1$ のとき、シリンダー2の圧力と体積を求めよ。
2. (1)の状態から気体1を加熱すると、気体2の体積が半分になった。気体2の変化が断熱であるとして、気体1の圧力と温度を求めよ。
3. (2)の過程で気体1に与えた熱量を求めよ。
4. (2)の過程で二つの気体のエントロピー変化をそれぞれ求めよ。

题目描述

真空中固定的两气缸截面积为 $A,2A$，分别装有 $n,2n$ mol理想气体；活塞用刚杆连接，位移相等。无摩擦、无泄漏，构件绝热且热容量忽略，活塞和杆的质量充分小。气体常数为 $R_0$，比热比为 $\kappa$，过程准静态。(1)两气体初温均为 $T_1$，气体1压力为 $p_1$，求气体2压力和体积。(2)加热气体1使气体2绝热压缩至原体积一半，求气体1最终压力和温度。(3)求加热量。(4)求两气体熵变。

Kai

(1)

ピストン系の力のつり合いより $p_1A=p_2(2A)$。したがって

$$\boxed{p_2=\frac{p_1}{2}},\qquad \boxed{V_2=\frac{2nR_0T_1}{p_2}=\frac{4nR_0T_1}{p_1}}.$$

また、$V_1=nR_0T_1/p_1$ より $V_2=4V_1$ である。

(2)

添字 $f$ を終状態に付す。変位が等しいため、体積変化は $\Delta V_2=-2\Delta V_1$ となる。$V_{2f}=V_2/2$ から

$$V_{1f}=V_1+\frac{V_2}{4}=2V_1.$$

気体2は可逆断熱圧縮されるので

$$p_{2f}=\frac{p_1}{2}2^\kappa,\qquad T_{2f}=2^{\kappa-1}T_1.$$

つり合いと気体1の状態方程式から

$$\boxed{p_{1f}=2^\kappa p_1},\qquad \boxed{T_{1f}=2^{\kappa+1}T_1}.$$

(3)

真空に対する外部仕事は零であり、二つの気体間の仕事は相殺される。$c_v=R_0/(\kappa-1)$ として

$$Q=nc_v(T_{1f}-T_1)+2nc_v(T_{2f}-T_1).$$

よって

$$\boxed{Q=\frac{nR_0T_1}{\kappa-1}\left(2^{\kappa+1}+2^\kappa-3\right)}.$$

(4)

気体1について

$$\Delta S_1=nc_v\log\frac{T_{1f}}{T_1} +nR_0\log\frac{V_{1f}}{V_1} =\boxed{\frac{2\kappa nR_0}{\kappa-1}\log2}.$$

気体2は可逆断熱変化なので

$$\boxed{\Delta S_2=0}.$$