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大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2018年度 熱工学 問題1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

理想気体1 kgを作動流体とし、高温熱源へ熱をくみ上げるヒートポンプサイクル 1→2→3→4→11\to2\to3\to4\to1 を考える。変化は準静的で、1→21\to2 は断熱、3→43\to4 はポリトロープ指数 nn のポリトロープ過程、2→32\to3 と 4→14\to1 は等温過程である。高温・低温熱源温度は TH,TLT_H,T_L、状態1は最高圧力の状態とする。気体定数を RR、比熱比を κ\kappa とし、1<n≤κ1<n\le\kappa とする。状態1、3の体積を V1,V3V_1,V_3 として答えよ。

  1. 1→21\to2 と 3→43\to4 において作動流体が外部にする仕事 L12,L34L_{12},L_{34} を求めよ。
  2. 3→43\to4 と 4→14\to1 における放熱量 Q34,Q41Q_{34},Q_{41} と作動流体のエントロピー変化 S34,S41S_{34},S_{41} を求めよ。
  3. サイクルを作動させるために必要な1サイクル当たりの仕事を求めよ。
  4. 動作係数を求め、TH,TL,V1,V3T_H,T_L,V_1,V_3 を固定したときに動作係数を最大にする nn を求めよ。
  5. (4)の nn を用い、TL=300 KT_L=300\,\mathrm K とする。横軸 THT_H、縦軸動作係数 η\eta として概略を図示せよ。また、THT_H を 200 K200\,\mathrm K 上げると η\eta が半分になる場合の、上げる前の THT_H を求めよ。

题目描述​

1 kg理想气体经历准静态热泵循环：1→2绝热、2→3在 TLT_L 等温、3→4为指数 1<n≤κ1<n\le\kappa 的多变过程、4→1在 THT_H 等温。状态1压力最高，状态1、3的体积分别为 V1,V3V_1,V_3，气体常数为 RR。求：(1)绝热与多变过程对外功；(2)3→4、4→1放热量和气体熵变；(3)循环输入功；(4)供热性能系数及固定温度和体积时的最优 nn；(5)最优情况下 TL=300T_L=300 K时的曲线，以及升高 THT_H 200 K使性能系数减半时原来的 THT_H。

Kai​

(1)​

t=TH/TL>1t=T_H/T_L>1、r=V3/V1r=V_3/V_1、ΔT=TH−TL\Delta T=T_H-T_L とおく。断熱関係およびポリトロープ関係から

V2=V1t1/(κ−1),V4=V3t−1/(n−1).V_2=V_1t^{1/(\kappa-1)},\qquad V_4=V_3t^{-1/(n-1)}.

したがって

L12=RΔTκ−1,L34=−RΔTn−1.\boxed{L_{12}=\frac{R\Delta T}{\kappa-1}},\qquad \boxed{L_{34}=-\frac{R\Delta T}{n-1}}.

(2)​

放熱量を正、気体のエントロピー変化を終状態から始状態を引いた量とする。Q34=−(ΔU34+L34)Q_{34}=-(\Delta U_{34}+L_{34}) なので

Q34=RΔT(1n−1−1κ−1),\boxed{Q_{34}=R\Delta T\left(\frac1{n-1}-\frac1{\kappa-1}\right)},
S34=R(1κ−1−1n−1)log⁡t.\boxed{S_{34}=R\left(\frac1{\kappa-1}-\frac1{n-1}\right)\log t}.

等温圧縮 4→14\to1 では

Q41=RTH(log⁡r−log⁡tn−1),S41=−Q41TH.\boxed{Q_{41}=RT_H\left(\log r-\frac{\log t}{n-1}\right)},\qquad \boxed{S_{41}=-\frac{Q_{41}}{T_H}}.

状態1が最高圧力となる通常の四過程では V4>V1V_4>V_1、すなわち log⁡r>log⁡t/(n−1)\log r>\log t/(n-1) が必要である。

(3)​

低温熱源からの吸熱量は

Q23=RTLlog⁡V3V2=RTL(log⁡r−log⁡tκ−1).Q_{23}=RT_L\log\frac{V_3}{V_2} =RT_L\left(\log r-\frac{\log t}{\kappa-1}\right).

一巡後の内部エネルギー変化が零なので、入力仕事は

Win=Q34+Q41−Q23=R[ΔTlog⁡r+ΔT−THlog⁡tn−1+TLlog⁡t−ΔTκ−1].\boxed{\begin{aligned} W_{\mathrm{in}}&=Q_{34}+Q_{41}-Q_{23}\\ &=R\left[\Delta T\log r +\frac{\Delta T-T_H\log t}{n-1} +\frac{T_L\log t-\Delta T}{\kappa-1}\right]. \end{aligned}}

(4)​

目的である高温熱源 THT_H への供熱は等温過程 4→14\to1 の Q41Q_{41} である。温度が変化する 3→43\to4 の放熱まで高温熱源への有効供熱に加えない。したがって

η=Q41Win=TH(log⁡r−log⁡tn−1)ΔTlog⁡r+ΔT−THlog⁡tn−1+TLlog⁡t−ΔTκ−1.\boxed{\eta=\frac{Q_{41}}{W_{\mathrm{in}}} =\frac{T_H\left(\log r-\dfrac{\log t}{n-1}\right)}{ \Delta T\log r+\dfrac{\Delta T-T_H\log t}{n-1} +\dfrac{T_L\log t-\Delta T}{\kappa-1}}}.

ここで

Win−ΔTTHQ41=R(1n−1−1κ−1)[ΔT−TLlog⁡t]≥0.W_{\mathrm{in}}-\frac{\Delta T}{T_H}Q_{41} =R\left(\frac1{n-1}-\frac1{\kappa-1}\right) \left[\Delta T-T_L\log t\right]\ge0.

t−1>log⁡tt-1>\log t と n≤κn\le\kappa を用いた。ゆえに

n=κ,ηmax⁡=THTH−TL.\boxed{n=\kappa},\qquad \boxed{\eta_{\max}=\frac{T_H}{T_H-T_L}}.

このとき 3→43\to4 も断熱となり、逆カルノーサイクルになる。

(5)​

η=THTH−300=1+300TH−300(TH>300 K).\boxed{\eta=\frac{T_H}{T_H-300}=1+\frac{300}{T_H-300}\quad(T_H>300\,\mathrm K)}.

TH↓300T_H\downarrow300 で発散し、TH→∞T_H\to\infty で1に漸近する単調減少曲線である。

低温熱源300 Kに対する最適熱ポンプの動作係数

求める初期温度を TT とすると

T+200T−100=12TT−300⟹T2−100T−120000=0.\frac{T+200}{T-100}=\frac12\frac{T}{T-300} \quad\Longrightarrow\quad T^2-100T-120000=0.

T>300T>300 の解を選び

TH=400 K.\boxed{T_H=400\,\mathrm K}.

実際、400 Kで η=4\eta=4、600 Kで η=2\eta=2 となる。

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