大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2017年8月実施 力学 問題3 Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description 問題3（解答用紙：青）
質量 m m m ℓ \ell ℓ x x x y y y x y xy x y x x x N x N_x N x y y y N y N_y N y ( x G , y G ) (x_G,y_G) ( x G , y G ) θ \theta θ 0 0 0 θ 0 \theta_0 θ 0 0 < θ 0 < π / 2 0<\theta_0<\pi/2 0 < θ 0 < π /2 0 0 0 I G I_G I G g g g
(1) 棒の並進の運動方程式と、重心 G のまわりの回転の運動方程式を、m , I G , x G , y G , θ , N x , N y m,I_G,x_G,y_G,\theta,N_x,N_y m , I G , x G , y G , θ , N x , N y
(2) I G I_G I G m , ℓ m,\ell m , ℓ
(3) 小問 (1) と小問 (2) の結果から、N x , N y N_x,N_y N x , N y θ ¨ \ddot\theta θ ¨
(4) エネルギーの保存則を用いて θ ˙ \dot\theta θ ˙
(5) 棒の上端が壁から離れる瞬間の cos θ \cos\theta cos θ
(6) 棒の下端は床から離れないことを示しなさい。
题目描述
问题3（使用蓝色答题纸）
一根质量为 m m m ℓ \ell ℓ x x x y y y x y xy x y x x x N x N_x N x y y y N y N_y N y ( x G , y G ) (x_G,y_G) ( x G , y G ) θ \theta θ 0 0 0 θ 0 \theta_0 θ 0 0 < θ 0 < π / 2 0<\theta_0<\pi/2 0 < θ 0 < π /2 I G I_G I G g g g
(1) 用 m , I G , x G , y G , θ , N x , N y m,I_G,x_G,y_G,\theta,N_x,N_y m , I G , x G , y G , θ , N x , N y
(2) 用 m , ℓ m,\ell m , ℓ I G I_G I G
(3) 利用 (1)、(2) 的结果，消去 N x , N y N_x,N_y N x , N y θ ¨ \ddot\theta θ ¨
(4) 利用能量守恒求 θ ˙ \dot\theta θ ˙
(5) 求杆上端离墙瞬间的 cos θ \cos\theta cos θ
(6) 证明杆下端不会离开地面。
Kai (1)
並進と重心まわりの回転の運動方程式は
m x ¨ G = N x , m y ¨ G = N y − m g , \boxed{m\ddot x_G=N_x},\qquad
\boxed{m\ddot y_G=N_y-mg}, m x ¨ G = N x , m y ¨ G = N y − m g , I G θ ¨ = ℓ 2 ( N y sin θ − N x cos θ ) . \boxed{I_G\ddot\theta
=\frac\ell2(N_y\sin\theta-N_x\cos\theta)}. I G θ ¨ = 2 ℓ ( N y sin θ − N x cos θ ) . (2)
線密度 m / ℓ m/\ell m / ℓ
I G = m ℓ ∫ − ℓ / 2 ℓ / 2 s 2 d s = 1 12 m ℓ 2 . \boxed{I_G=\frac m\ell\int_{-\ell/2}^{\ell/2}s^2\,ds
=\frac1{12}m\ell^2}. I G = ℓ m ∫ − ℓ /2 ℓ /2 s 2 d s = 12 1 m ℓ 2 . (3)
両端が壁と床に接している間は
x G = ℓ 2 sin θ , y G = ℓ 2 cos θ . x_G=\frac\ell2\sin\theta,\qquad y_G=\frac\ell2\cos\theta. x G = 2 ℓ sin θ , y G = 2 ℓ cos θ . 従って
x ¨ G = ℓ 2 ( θ ¨ cos θ − θ ˙ 2 sin θ ) , y ¨ G = − ℓ 2 ( θ ¨ sin θ + θ ˙ 2 cos θ ) . \ddot x_G=\frac\ell2(\ddot\theta\cos\theta-\dot\theta^2\sin\theta),
\qquad
\ddot y_G=-\frac\ell2(\ddot\theta\sin\theta+\dot\theta^2\cos\theta). x ¨ G = 2 ℓ ( θ ¨ cos θ − θ ˙ 2 sin θ ) , y ¨ G = − 2 ℓ ( θ ¨ sin θ + θ ˙ 2 cos θ ) . これらと N x = m x ¨ G , N y = m ( y ¨ G + g ) N_x=m\ddot x_G,N_y=m(\ddot y_G+g) N x = m x ¨ G , N y = m ( y ¨ G + g )
1 12 m ℓ 2 θ ¨ = − 1 4 m ℓ 2 θ ¨ + 1 2 m g ℓ sin θ . \frac1{12}m\ell^2\ddot\theta
=-\frac14m\ell^2\ddot\theta+\frac12mg\ell\sin\theta. 12 1 m ℓ 2 θ ¨ = − 4 1 m ℓ 2 θ ¨ + 2 1 m g ℓ sin θ . よって
θ ¨ = 3 g 2 ℓ sin θ . \boxed{\ddot\theta=\frac{3g}{2\ell}\sin\theta}. θ ¨ = 2 ℓ 3 g sin θ . (4)
抗力は仕事をしない。x ˙ G 2 + y ˙ G 2 = ℓ 2 θ ˙ 2 / 4 \dot x_G^2+\dot y_G^2=\ell^2\dot\theta^2/4 x ˙ G 2 + y ˙ G 2 = ℓ 2 θ ˙ 2 /4
m g ℓ 2 cos θ 0 = m g ℓ 2 cos θ + 1 2 m ℓ 2 4 θ ˙ 2 + 1 2 m ℓ 2 12 θ ˙ 2 . \frac{mg\ell}{2}\cos\theta_0
=\frac{mg\ell}{2}\cos\theta
+\frac12m\frac{\ell^2}{4}\dot\theta^2
+\frac12\frac{m\ell^2}{12}\dot\theta^2. 2 m g ℓ cos θ 0 = 2 m g ℓ cos θ + 2 1 m 4 ℓ 2 θ ˙ 2 + 2 1 12 m ℓ 2 θ ˙ 2 . θ \theta θ
θ ˙ = 3 g ℓ ( cos θ 0 − cos θ ) . \boxed{\dot\theta=\sqrt{\frac{3g}{\ell}(\cos\theta_0-\cos\theta)}}. θ ˙ = ℓ 3 g ( cos θ 0 − cos θ ) . (5)
(3)、(4) を水平抗力の式に入れると
N x = 3 m g 4 sin θ ( 3 cos θ − 2 cos θ 0 ) . N_x=\frac{3mg}{4}\sin\theta(3\cos\theta-2\cos\theta_0). N x = 4 3 m g sin θ ( 3 cos θ − 2 cos θ 0 ) . sin θ > 0 \sin\theta>0 sin θ > 0 N x = 0 N_x=0 N x = 0
cos θ = 2 3 cos θ 0 . \boxed{\cos\theta=\frac23\cos\theta_0}. cos θ = 3 2 cos θ 0 . (6)
鉛直抗力は
N y = m g − m ℓ 2 ( θ ¨ sin θ + θ ˙ 2 cos θ ) = m g [ 9 4 cos 2 θ − 3 2 cos θ 0 cos θ + 1 4 ] = m g 4 [ 9 ( cos θ − 1 3 cos θ 0 ) 2 + sin 2 θ 0 ] > 0. \begin{aligned}
N_y&=mg-\frac{m\ell}{2}
(\ddot\theta\sin\theta+\dot\theta^2\cos\theta)\\
&=mg\left[\frac94\cos^2\theta
-\frac32\cos\theta_0\cos\theta+\frac14\right]\\
&=\frac{mg}{4}\left[
9\left(\cos\theta-\frac13\cos\theta_0\right)^2
+\sin^2\theta_0\right]>0.
\end{aligned} N y = m g − 2 m ℓ ( θ ¨ sin θ + θ ˙ 2 cos θ ) = m g [ 4 9 cos 2 θ − 2 3 cos θ 0 cos θ + 4 1 ] = 4 m g [ 9 ( cos θ − 3 1 cos θ 0 ) 2 + sin 2 θ 0 ] > 0. 0 < θ 0 < π / 2 0<\theta_0<\pi/2 0 < θ 0 < π /2
