大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2014年8月実施 熱工学 問題2

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問題2（解答用紙：白）

下図に示すように断面が円形で無限に長い電源コードが周囲温度 $T_0$ の空気中にある。中心部には半径 $r_1$ の円柱の銅線があり、その周りは円筒の被覆材によって覆われている。この被覆材の外側の半径は $r_2$ である。また、銅線と被覆材の断面中心は同一で、この中心を原点 O とし、半径方向に $r$ 軸をとる。銅線と被覆材との界面は完全に接触しているものとする。この電源コードを通電することによって、銅線のみが単位体積、単位時間あたり $w$ の発熱をして、十分な時間が経った後、この電源コードの温度分布が定常状態になった。銅線の熱伝導率を $\lambda_1$、被覆材の熱伝導率を $\lambda_2$、被覆材表面（$r=r_2$）と空気の間の熱伝達率を $h$ とし、それぞれ一定とする。以下の問いに答えなさい。

(1) 銅線と被覆材との界面での熱流束および、被覆材の外側表面での熱流束をそれぞれ求めなさい。

(2) 被覆材の外側表面の温度を求めなさい。

(3) 銅線と被覆材との界面の温度を求めなさい。

(4) 銅線の中心の温度を求めなさい。

题目描述

问题2（使用白色答题纸）

如图，一根圆形截面、无限长的电源线置于环境温度为 $T_0$ 的空气中。中心为半径 $r_1$ 的圆柱形铜线，外面包覆圆筒形材料，包覆层外半径为 $r_2$。铜线与包覆层同心，以共同的截面中心 O 为原点，沿径向取 $r$ 轴。假定铜线与包覆层的界面完全接触。通电后，仅铜线以单位体积、单位时间 $w$ 的速率发热；经过足够长时间，温度分布达到稳态。铜线的导热系数为 $\lambda_1$，包覆材料的导热系数为 $\lambda_2$，包覆层表面（$r=r_2$）与空气间的换热系数为 $h$，三者均为常数。回答下列问题。

(1) 分别求铜线与包覆层界面的热流密度，以及包覆层外表面的热流密度。

(2) 求包覆层外表面的温度。

(3) 求铜线与包覆层界面的温度。

(4) 求铜线中心的温度。

Kai

(1)

単位長さ当たりの発熱量は $w\pi r_1^2$ である。半径 $r$ の面を通る外向き熱流束は、被覆内で $q_r=w r_1^2/(2r)$ となるので

$$\boxed{q_r(r_1)=\frac{wr_1}{2}},\qquad \boxed{q_r(r_2)=\frac{wr_1^2}{2r_2}}.$$

(2)

被覆外表面の温度を $T_s$ とすると $h(T_s-T_0)=q_r(r_2)$ だから

$$\boxed{T_s=T_0+\frac{wr_1^2}{2hr_2}}.$$

(3)

被覆内で $-\lambda_2\,dT/dr=wr_1^2/(2r)$ を積分する。界面温度 $T_b$ は

$$\boxed{T_b=T_s+\frac{wr_1^2}{2\lambda_2}\log\frac{r_2}{r_1}}.$$

(4)

銅線内では半径 $r$ までの発熱量から $q_r=wr/2$ である。したがって

$$T(r)=T_b+\frac{w}{4\lambda_1}(r_1^2-r^2),$$

よって中心温度は

$$\boxed{T(0)=T_0+\frac{wr_1^2}{2hr_2} +\frac{wr_1^2}{2\lambda_2}\log\frac{r_2}{r_1} +\frac{wr_1^2}{4\lambda_1}}.$$