大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2015年度 熱工学 問題2

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• 内热源导热

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

無限に長い円形銅線を絶縁体で被覆し、周囲温度 $T_0$ の空気中に置く。銅線の半径は $r_1$、被覆の外半径は $r_2$、熱伝導率はそれぞれ $\lambda_1,\lambda_2$ である。銅線内部には一様な単位体積当たりの発熱量 $w$ があり、被覆内部には発熱がない。外表面の熱伝達率は $h$ とする。定常状態を考え、物性値は一定、接触熱抵抗は無視する。

1. 銅線と被覆の境界、および被覆外表面での熱流束を求めよ。
2. 被覆外表面の温度を求めよ。
3. 銅線と被覆の境界温度を求めよ。
4. 銅線中心の温度を求めよ。

题目描述

无限长铜线半径为 $r_1$、导热系数为 $\lambda_1$，外覆绝缘层至半径 $r_2$，导热系数为 $\lambda_2$。铜线内均匀体积发热率为 $w$，绝缘层不发热，接触热阻忽略。周围空气温度为 $T_0$，外表面对流换热系数为 $h$，物性恒定且处于稳态。求两界面的热流密度、外表面温度、铜线与绝缘层界面温度，以及铜线中心温度。

Kai

(1)

単位長さ当たりの発熱量は $w\pi r_1^2$ である。半径 $r$ の面を通る外向き熱流束は、被覆内で $q_r=w r_1^2/(2r)$ となるので

$$\boxed{q_r(r_1)=\frac{wr_1}{2}},\qquad \boxed{q_r(r_2)=\frac{wr_1^2}{2r_2}}.$$

(2)

被覆外表面の温度を $T_s$ とすると $h(T_s-T_0)=q_r(r_2)$ だから

$$\boxed{T_s=T_0+\frac{wr_1^2}{2hr_2}}.$$

(3)

被覆内で $-\lambda_2\,dT/dr=wr_1^2/(2r)$ を積分する。界面温度 $T_b$ は

$$\boxed{T_b=T_s+\frac{wr_1^2}{2\lambda_2}\log\frac{r_2}{r_1}}.$$

(4)

銅線内では半径 $r$ までの発熱量から $q_r=wr/2$ である。したがって

$$T(r)=T_b+\frac{w}{4\lambda_1}(r_1^2-r^2),$$

よって中心温度は

$$\boxed{T(0)=T_0+\frac{wr_1^2}{2hr_2} +\frac{wr_1^2}{2\lambda_2}\log\frac{r_2}{r_1} +\frac{wr_1^2}{4\lambda_1}}.$$