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大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2015年度 熱工学 問題1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

断熱された剛体密閉容器が、体積を無視できる隔壁で体積 V1,V2V_1,V_2 の二室に分かれている。理想気体AとBの定積モル比熱はともに一定値 cvc_v とし、一般気体定数を R0R_0 とする。変化は準静的に行うものとする。

(1) 両室に同じ気体Aを封入する。初期状態1-1では、第1室の圧力・温度は P0,T0P_0,T_0、第2室は 2P0,4T02P_0,4T_0 である。隔壁を通して熱を移動させ、両室の温度が等しい状態1-2とする。次に、温度を一定に保って隔壁を静かに取り除き、圧力が均一な状態1-3とする。

  • (1-1) 初期の各室のモル数を求めよ。
  • (1-2) 状態1-2の温度と各室の圧力を求めよ。
  • (1-3) 状態1-3の圧力を求めよ。
  • (1-4) 状態1-1から状態1-3への全エントロピー変化を求めよ。

(2) 第1室に気体A、第2室に気体Bを封入し、両室の初期圧力・温度をともに P0,T0P_0,T_0 とする。隔壁を取り除き、均一な混合気体とする。

  • (2-1) 全エントロピー変化を求めよ。
  • (2-2) この変化が可逆か不可逆かを、理由とともに答えよ。

题目描述​

绝热刚性密闭容器由体积可忽略的隔板分为 V1,V2V_1,V_2 两室。理想气体A、B具有相同且恒定的定容摩尔热容 cvc_v，气体常数为 R0R_0，变化按题意缓慢进行。(1)两室都是气体A，初态分别为 (P0,T0)(P_0,T_0) 和 (2P0,4T0)(2P_0,4T_0)；先经隔板传热至等温，再保持温度撤去隔板至压力均匀。求初始物质的量、等温后的温度与两室压力、最终压力以及总熵变。(2)两室分别装A、B，初态均为 P0,T0P_0,T_0；撤去隔板混合，求总熵变并判断可逆性。

Kai​

(1-1)​

状態方程式から

n1=P0V1R0T0,n2=P0V22R0T0.\boxed{n_1=\frac{P_0V_1}{R_0T_0}},\qquad \boxed{n_2=\frac{P_0V_2}{2R_0T_0}}.

(1-2)​

全内部エネルギーの保存より、共通温度 TfT_f は

(n1+n2)cvTf=n1cvT0+n2cv(4T0),Tf=2V1+4V22V1+V2T0.(n_1+n_2)c_vT_f=n_1c_vT_0+n_2c_v(4T_0),\qquad \boxed{T_f=\frac{2V_1+4V_2}{2V_1+V_2}T_0}.

各室の体積は一定なので

P1=P0TfT0,P2=P02TfT0.\boxed{P_1=P_0\frac{T_f}{T_0}},\qquad \boxed{P_2=\frac{P_0}{2}\frac{T_f}{T_0}}.

(1-3)​

隔壁を除いても理想気体全体の内部エネルギーと温度は変わらない。N=n1+n2N=n_1+n_2 とおけば

Pf=NR0TfV1+V2=P0V1+2V2V1+V2.\boxed{P_f=\frac{NR_0T_f}{V_1+V_2} =P_0\frac{V_1+2V_2}{V_1+V_2}}.

(1-4)​

同種気体のモルエントロピーは s=cvlog⁡T+R0log⁡(V/n)+s0s=c_v\log T+R_0\log(V/n)+s_0 と書ける。最終状態では全体を NN モルの単一気体として扱うので

ΔS=cv[n1log⁡TfT0+n2log⁡Tf4T0]+R0[Nlog⁡V1+V2N−n1log⁡V1n1−n2log⁡V2n2].\begin{aligned} \Delta S={}&c_v\left[n_1\log\frac{T_f}{T_0} +n_2\log\frac{T_f}{4T_0}\right]\\ &+R_0\left[N\log\frac{V_1+V_2}{N} -n_1\log\frac{V_1}{n_1}-n_2\log\frac{V_2}{n_2}\right]. \end{aligned}

すべてを与えられた量で書けば

ΔS=P0cvR0T0[V1log⁡2V1+4V22V1+V2+V22log⁡V1+2V22(2V1+V2)]+P0T0[V1log⁡2(V1+V2)2V1+V2+V22log⁡V1+V22V1+V2].\boxed{\begin{aligned} \Delta S={}&\frac{P_0c_v}{R_0T_0}\left[ V_1\log\frac{2V_1+4V_2}{2V_1+V_2} +\frac{V_2}{2}\log\frac{V_1+2V_2}{2(2V_1+V_2)}\right]\\ &+\frac{P_0}{T_0}\left[ V_1\log\frac{2(V_1+V_2)}{2V_1+V_2} +\frac{V_2}{2}\log\frac{V_1+V_2}{2V_1+V_2}\right]. \end{aligned}}

同種気体なので、二つの初期部分を異なる化学種として扱う混合エントロピーは加えない。

(2-1), (2-2)​

異種理想気体の混合では、各成分の占有可能な体積が V1+V2V_1+V_2 になる。温度は T0T_0 のままであるから

ΔS=P0T0[V1log⁡V1+V2V1+V2log⁡V1+V2V2]>0.\boxed{\Delta S=\frac{P_0}{T_0}\left[ V_1\log\frac{V_1+V_2}{V_1} +V_2\log\frac{V_1+V_2}{V_2}\right]>0}.

断熱された系のエントロピーが増大するので、混合は不可逆である。操作を静かに行うことだけでは可逆性は保証されない。

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