大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2015年度 力学 問題2 Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description 水平右向きに x x x y y y ( 0 , ℓ ) (0,\ell) ( 0 , ℓ ) m m m M M M ℓ \ell ℓ x y xy x y θ \theta θ ( x A , ℓ ) (x_A,\ell) ( x A , ℓ ) ( x G , y G ) (x_G,y_G) ( x G , y G ) g g g
A に働く鉛直抗力の上向き成分を N N N x ¨ G , y ¨ G , θ ¨ , M , m , ℓ , N , g , θ \ddot x_G,\ddot y_G,\ddot\theta,M,m,\ell,N,g,\theta x ¨ G , y ¨ G , θ ¨ , M , m , ℓ , N , g , θ
初期状態 x A = 0 , θ = θ 0 x_A=0,\theta=\theta_0 x A = 0 , θ = θ 0 0 < θ 0 < π / 2 0<\theta_0<\pi/2 0 < θ 0 < π /2 θ = 0 \theta=0 θ = 0 θ ˙ , x A , N \dot\theta,x_A,N θ ˙ , x A , N M , m , ℓ , g , θ 0 M,m,\ell,g,\theta_0 M , m , ℓ , g , θ 0
B に、その速度ベクトル v B \boldsymbol v_B v B − k v B -k\boldsymbol v_B − k v B k > 0 k>0 k > 0 θ = 0 \theta=0 θ = 0 x A x_A x A
题目描述
以水平向右为 x x x y y y m m m ( 0 , ℓ ) (0,\ell) ( 0 , ℓ ) M M M ℓ \ell ℓ θ \theta θ ( x A , ℓ ) (x_A,\ell) ( x A , ℓ ) ( x G , y G ) (x_G,y_G) ( x G , y G ) g g g
设轨道对 A 的竖直向上支持力为 N N N
从 x A = 0 , θ = θ 0 x_A=0,\theta=\theta_0 x A = 0 , θ = θ 0 0 < θ 0 < π / 2 0<\theta_0<\pi/2 0 < θ 0 < π /2 θ ˙ , x A , N \dot\theta,x_A,N θ ˙ , x A , N
若 B 受到线性阻力 − k v B -k\boldsymbol v_B − k v B k > 0 k>0 k > 0 θ = 0 \theta=0 θ = 0 x A x_A x A
Kai (1)
重心まわりの慣性モーメントは
I G = m ( M ℓ M + m ) 2 + M ( m ℓ M + m ) 2 = m M M + m ℓ 2 . I_G=m\left(\frac{M\ell}{M+m}\right)^2
+M\left(\frac{m\ell}{M+m}\right)^2
=\frac{mM}{M+m}\ell^2. I G = m ( M + m M ℓ ) 2 + M ( M + m m ℓ ) 2 = M + m m M ℓ 2 . 重力の重心まわりのモーメントは 0 0 0 − N M ℓ sin θ / ( M + m ) -NM\ell\sin\theta/(M+m) − NM ℓ sin θ / ( M + m )
( M + m ) x ¨ G = 0 , ( M + m ) y ¨ G = N − ( M + m ) g , \boxed{(M+m)\ddot x_G=0},\qquad
\boxed{(M+m)\ddot y_G=N-(M+m)g}, ( M + m ) x ¨ G = 0 , ( M + m ) y ¨ G = N − ( M + m ) g , m M M + m ℓ 2 θ ¨ = − M ℓ M + m N sin θ . \boxed{\frac{mM}{M+m}\ell^2\ddot\theta
=-\frac{M\ell}{M+m}N\sin\theta}. M + m m M ℓ 2 θ ¨ = − M + m M ℓ N sin θ . (2)
外力の水平成分が 0 0 0 x G x_G x G
x G = x A + M ℓ M + m sin θ = M ℓ M + m sin θ 0 . x_G=x_A+\frac{M\ell}{M+m}\sin\theta
=\frac{M\ell}{M+m}\sin\theta_0. x G = x A + M + m M ℓ sin θ = M + m M ℓ sin θ 0 . よって θ = 0 \theta=0 θ = 0
x A = M ℓ M + m sin θ 0 . \boxed{x_A=\frac{M\ell}{M+m}\sin\theta_0}. x A = M + m M ℓ sin θ 0 . 水平運動量保存から、その瞬間
x ˙ A = − M ℓ M + m θ ˙ , x ˙ B = m ℓ M + m θ ˙ , y ˙ B = 0. \dot x_A=-\frac{M\ell}{M+m}\dot\theta,
\qquad \dot x_B=\frac{m\ell}{M+m}\dot\theta,
\qquad \dot y_B=0. x ˙ A = − M + m M ℓ θ ˙ , x ˙ B = M + m m ℓ θ ˙ , y ˙ B = 0. 力学的エネルギー保存より
M g ℓ ( 1 − cos θ 0 ) = 1 2 m M M + m ℓ 2 θ ˙ 2 . Mg\ell(1-\cos\theta_0)
=\frac12\frac{mM}{M+m}\ell^2\dot\theta^2. M g ℓ ( 1 − cos θ 0 ) = 2 1 M + m m M ℓ 2 θ ˙ 2 . θ \theta θ
θ ˙ = − 2 ( M + m ) g m ℓ ( 1 − cos θ 0 ) . \boxed{\dot\theta=-\sqrt{\frac{2(M+m)g}{m\ell}(1-\cos\theta_0)}}. θ ˙ = − m ℓ 2 ( M + m ) g ( 1 − cos θ 0 ) . y G = ℓ − M ℓ cos θ / ( M + m ) y_G=\ell-M\ell\cos\theta/(M+m) y G = ℓ − M ℓ cos θ / ( M + m ) θ = 0 \theta=0 θ = 0
N = ( M + m ) g + M ℓ θ ˙ 2 . N=(M+m)g+M\ell\dot\theta^2. N = ( M + m ) g + M ℓ θ ˙ 2 . したがって
N = ( M + m ) g [ 1 + 2 M m ( 1 − cos θ 0 ) ] . \boxed{N=(M+m)g\left[1+\frac{2M}{m}(1-\cos\theta_0)\right]}. N = ( M + m ) g [ 1 + m 2 M ( 1 − cos θ 0 ) ] . (3)
系の水平運動量を P x P_x P x − k x ˙ B -k\dot x_B − k x ˙ B
P ˙ x = − k x ˙ B , P x + k x B = 一定 . \dot P_x=-k\dot x_B,
\qquad P_x+kx_B=\text{一定}. P ˙ x = − k x ˙ B , P x + k x B = 一定 . 初めも終わりも静止しているので P x = 0 P_x=0 P x = 0 x B = ℓ sin θ 0 x_B=\ell\sin\theta_0 x B = ℓ sin θ 0 θ = 0 \theta=0 θ = 0 x B = x A x_B=x_A x B = x A
x A = ℓ sin θ 0 . \boxed{x_A=\ell\sin\theta_0}. x A = ℓ sin θ 0 . 