大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2015年度 力学 問題1 Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description 傾斜角 θ \theta θ 0 < θ < π / 2 0<\theta<\pi/2 0 < θ < π /2 k k k m m m δ > 0 \delta>0 δ > 0 m m m μ s \mu_s μ s μ d \mu_d μ d g g g
A が滑り出したとき、B も同時に滑り出すための θ \theta θ
(1) の条件の下で、両物体が同時に滑り出す時刻を t = 0 t=0 t = 0 t t t
(1) の条件の下で、B が A と初めて衝突する時刻が、A の速度が初めて 0 0 0 δ \delta δ
(3) の δ \delta δ δ 0 \delta_0 δ 0 δ > δ 0 \delta>\delta_0 δ > δ 0 0 0 0 θ \theta θ
题目描述
倾角为 θ \theta θ 0 < θ < π / 2 0<\theta<\pi/2 0 < θ < π /2 k k k m m m δ > 0 \delta>0 δ > 0 μ s , μ d \mu_s,\mu_d μ s , μ d g g g
求 A 开始下滑时 B 同时下滑的倾角条件。
满足上述条件并以同时开始下滑为 t = 0 t=0 t = 0 t t t
若第一次碰撞恰发生在 A 速度第一次变为零时，求 δ \delta δ
将上一问结果记为 δ 0 \delta_0 δ 0 δ > δ 0 \delta>\delta_0 δ > δ 0
Kai (1)
B が斜面下向きに滑り出す条件は、重力の斜面方向成分が最大静止摩擦力を上回ることである。したがって
m g sin θ > μ s m g cos θ , tan θ > μ s . mg\sin\theta>\mu_smg\cos\theta,
\qquad \boxed{\tan\theta>\mu_s}. m g sin θ > μ s m g cos θ , tan θ > μ s . (2)
斜面下向きを正とし、滑り始めてからの移動距離を x A , x B x_A,x_B x A , x B
x ¨ B = g ( sin θ − μ d cos θ ) . \ddot x_B=g(\sin\theta-\mu_d\cos\theta). x ¨ B = g ( sin θ − μ d cos θ ) . 初期条件 x B ( 0 ) = x ˙ B ( 0 ) = 0 x_B(0)=\dot x_B(0)=0 x B ( 0 ) = x ˙ B ( 0 ) = 0
x B ( t ) = g 2 ( sin θ − μ d cos θ ) t 2 . \boxed{x_B(t)=\frac g2(\sin\theta-\mu_d\cos\theta)t^2}. x B ( t ) = 2 g ( sin θ − μ d cos θ ) t 2 . (3)
ω = k / m \omega=\sqrt{k/m} ω = k / m a = g ( sin θ − μ d cos θ ) > 0 a=g(\sin\theta-\mu_d\cos\theta)>0 a = g ( sin θ − μ d cos θ ) > 0
m x ¨ A = k ( δ − x A ) + m a , x A ( 0 ) = x ˙ A ( 0 ) = 0. m\ddot x_A=k(\delta-x_A)+ma,
\qquad x_A(0)=\dot x_A(0)=0. m x ¨ A = k ( δ − x A ) + ma , x A ( 0 ) = x ˙ A ( 0 ) = 0. よって
x A ( t ) = ( δ + m a k ) ( 1 − cos ω t ) , x ˙ A ( t ) = ω ( δ + m a k ) sin ω t . x_A(t)=\left(\delta+\frac{ma}{k}\right)(1-\cos\omega t),
\qquad
\dot x_A(t)=\omega\left(\delta+\frac{ma}{k}\right)\sin\omega t. x A ( t ) = ( δ + k ma ) ( 1 − cos ω t ) , x ˙ A ( t ) = ω ( δ + k ma ) sin ω t . 初めて停止する時刻は t ∗ = π / ω t_*=\pi/\omega t ∗ = π / ω x A = x B x_A=x_B x A = x B
2 ( δ 0 + m a k ) = a π 2 2 ω 2 , 2\left(\delta_0+\frac{ma}{k}\right)
=\frac{a\pi^2}{2\omega^2}, 2 ( δ 0 + k ma ) = 2 ω 2 a π 2 , δ 0 = m g k ( π 2 4 − 1 ) ( sin θ − μ d cos θ ) . \boxed{\delta_0=\frac{mg}{k}
\left(\frac{\pi^2}{4}-1\right)
(\sin\theta-\mu_d\cos\theta)}. δ 0 = k m g ( 4 π 2 − 1 ) ( sin θ − μ d cos θ ) . 0 < ω t < π 0<\omega t<\pi 0 < ω t < π sin ( ω t / 2 ) > ω t / π \sin(\omega t/2)>\omega t/\pi sin ( ω t /2 ) > ω t / π δ 0 \delta_0 δ 0 x A > x B x_A>x_B x A > x B
(4)
δ > δ 0 \delta>\delta_0 δ > δ 0 t ∗ t_* t ∗
x A ( t ∗ ) = 2 ( δ + m a k ) . x_A(t_*)=2\left(\delta+\frac{ma}{k}\right). x A ( t ∗ ) = 2 ( δ + k ma ) . ばねの自然長からの圧縮量は x A ( t ∗ ) − δ = δ + 2 m a / k x_A(t_*)-\delta=\delta+2ma/k x A ( t ∗ ) − δ = δ + 2 ma / k
k δ + 2 m g ( sin θ − μ d cos θ ) − m g sin θ > μ s m g cos θ . k\delta+2mg(\sin\theta-\mu_d\cos\theta)-mg\sin\theta
>\mu_smg\cos\theta. k δ + 2 m g ( sin θ − μ d cos θ ) − m g sin θ > μ s m g cos θ . 求める条件は、(1) の条件と併せて
sin θ − ( μ s + 2 μ d ) cos θ > − k δ m g . \boxed{\sin\theta-(\mu_s+2\mu_d)\cos\theta
> -\frac{k\delta}{mg}}. sin θ − ( μ s + 2 μ d ) cos θ > − m g k δ . 