大阪大学工学研究科機械工学専攻 2014年8月実施数学問題4

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

問題4（解答用紙：黄）

複素数 $z$ の複素数値関数 $f(z)$ に対する複素数平面上の閉曲線 C に沿う積分 $J=\int_C f(z)\,dz$ を考える。

(1) $f(z)=(z-a)^m$ であって、閉曲線 C が複素数平面上の点 $a$ を囲むとき、 $J$ を求めなさい。ただし、 $m$ は整数とする。

(2) $f(z)=(z-a)^{-5}\exp[(z-a)^m]$ であって、閉曲線 C が複素数平面上の点 $a$ を囲むとき、 $J=0$ とならない整数 $m$ をすべて求めなさい。

(3) 次の命題の真偽を判定し、その理由を述べなさい。「 $J=0$ ならば、閉曲線 C で囲まれた領域で $f(z)$ は正則である。」

问题4（使用黄色答题纸）

对于复变量 $z$ 的复值函数 $f(z)$ ，考虑沿复平面上闭曲线 C 的积分 $J=\int_C f(z)\,dz$ 。

(1) 若 $f(z)=(z-a)^m$ ，闭曲线 C 围住复平面上的点 $a$ ，求 $J$ 。其中 $m$ 为整数。

(2) 若 $f(z)=(z-a)^{-5}\exp[(z-a)^m]$ ，闭曲线 C 围住复平面上的点 $a$ ，求所有使 $J\ne0$ 的整数 $m$ 。

(3) 判断下列命题的真伪并说明理由：“若 $J=0$ ，则 $f(z)$ 在闭曲线 C 围成的区域内解析。”

以下、 $C$ の向きは正向き（反時計回りに1周）とする。逆向きでは積分の符号が逆になる。

$m\ne-1$ のとき、 $(z-a)^m$ は $z\ne a$ において一価の原始関数 $(z-a)^{m+1}/(m+1)$ を持つので、閉曲線積分は $0$ である。 $m=-1$ のときは $a$ における留数が $1$ なので

\boxed{J=\begin{cases}2\pi i,&m=-1,\\0,&m\ne-1.\end{cases}}

一般の回転数 $\operatorname{Ind}(C,a)$ に対しては、 $m=-1$ の値を $2\pi i\operatorname{Ind}(C,a)$ とする。

$z\ne a$ における Laurent 展開は

f(z)=\frac1{(z-a)^5}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z-a)^{mk}}{k!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z-a)^{mk-5}}{k!}.

$J$ が $0$ でないためには、 $(z-a)^{-1}$ の項が必要であり、その条件は

mk-5=-1,\qquad\text{すなわち }mk=4\quad(k\in\mathbb Z_{\ge0}).

したがって $J\ne0$ となるのは $m$ が $4$ の正の約数であるときに限る。求める $J=0$ の条件は、その補集合であるから

\boxed{m\in\mathbb Z\setminus\{1,2,4\}}.

実際、 $m=1,2,4$ の各留数は順に $1/4!$ 、 $1/2!$ 、 $1$ となり、すべて $0$ ではない。 $m=0$ の場合は $f=e(z-a)^{-5}$ 、 $m<0$ の場合は展開の指数がすべて $-5$ 以下なので、いずれも留数は $0$ である。

命題は正しくない。反例として

f(z)=\frac1{(z-a)^2}

を取り、 $C$ を $a$ を囲む円とする。(1) より $J=0$ であるが、 $f$ は内部の点 $a$ に2位の極を持つので正則ではない。

一つの閉曲線に沿う積分が $0$ であるという条件だけから、内部での正則性は結論できない。