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大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2015年度 数学 問題4

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

複素関数 f(z)f(z) の閉曲線 CC に沿う積分

J=∫Cf(z) dzJ=\int_C f(z)\,dz

について、以下の問いに答えなさい。

  1. f(z)=(z−a)mf(z)=(z-a)^m とする。閉曲線 CC が点 aa を囲むとき、JJ を求めなさい。ただし、mm は整数とする。
  2. f(z)=(z−a)−5exp⁡[(z−a)m]f(z)=(z-a)^{-5}\exp[(z-a)^m] とする。閉曲線 CC が点 aa を囲むとき、J=0J=0 となる整数 mm をすべて求めなさい。
  3. 次の命題が正しいか否かを述べ、その理由を説明しなさい。「J=0J=0 ならば、閉曲線 CC で囲まれた領域で f(z)f(z) は正則である。」

题目描述​

对复函数 f(z)f(z) 沿闭曲线 CC 的积分 J=∫Cf(z) dzJ=\int_C f(z)\,dz，回答下列问题。

  1. 设 f(z)=(z−a)mf(z)=(z-a)^m，其中 mm 为整数，CC 包围点 aa，求 JJ。
  2. 设 f(z)=(z−a)−5exp⁡[(z−a)m]f(z)=(z-a)^{-5}\exp[(z-a)^m]，CC 包围点 aa，求所有使 J=0J=0 的整数 mm。
  3. 判断命题“若 J=0J=0，则 f(z)f(z) 在 CC 围成的区域内全纯”是否正确，并说明理由。

Kai​

以下、CC の向きは正向き（反時計回りに1周）とする。逆向きでは積分の符号が逆になる。

(1)​

m≠−1m\ne-1 のとき、(z−a)m(z-a)^m は z≠az\ne a において一価の原始関数 (z−a)m+1/(m+1)(z-a)^{m+1}/(m+1) を持つので、閉曲線積分は 00 である。m=−1m=-1 のときは aa における留数が 11 なので

J={2πi,m=−1,0,m≠−1.\boxed{J=\begin{cases}2\pi i,&m=-1,\\0,&m\ne-1.\end{cases}}

一般の回転数 Ind⁡(C,a)\operatorname{Ind}(C,a) に対しては、m=−1m=-1 の値を 2πiInd⁡(C,a)2\pi i\operatorname{Ind}(C,a) とする。

(2)​

z≠az\ne a における Laurent 展開は

f(z)=1(z−a)5∑k=0∞(z−a)mkk!=∑k=0∞(z−a)mk−5k!.f(z)=\frac1{(z-a)^5}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z-a)^{mk}}{k!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z-a)^{mk-5}}{k!}.

JJ が 00 でないためには、(z−a)−1(z-a)^{-1} の項が必要であり、その条件は

mk−5=−1,すなわち mk=4(k∈Z≥0).mk-5=-1,\qquad\text{すなわち }mk=4\quad(k\in\mathbb Z_{\ge0}).

したがって J≠0J\ne0 となるのは mm が 44 の正の約数であるときに限る。求める J=0J=0 の条件は、その補集合であるから

m∈Z∖{1,2,4}.\boxed{m\in\mathbb Z\setminus\{1,2,4\}}.

実際、m=1,2,4m=1,2,4 の各留数は順に 1/4!1/4!、1/2!1/2!、11 となり、すべて 00 ではない。m=0m=0 の場合は f=e(z−a)−5f=e(z-a)^{-5}、m<0m<0 の場合は展開の指数がすべて −5-5 以下なので、いずれも留数は 00 である。

(3)​

命題は正しくない。反例として

f(z)=1(z−a)2f(z)=\frac1{(z-a)^2}

を取り、CC を aa を囲む円とする。(1) より J=0J=0 であるが、ff は内部の点 aa に2位の極を持つので正則ではない。

一つの閉曲線に沿う積分が 00 であるという条件だけから、内部での正則性は結論できない。

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