大阪大学工学研究科機械工学専攻 2014年8月実施数学問題3

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

問題3（解答用紙：青）

直交デカルト座標系（ $xyz$ 座標系）において、 $a$ を正の定数、 $t$ を実数のパラメータとして、 $(x,y,z)=(2\cos t,4\sin t,at)$ によって定められる曲線 C を考える。以下の問いに答えなさい。

(1) 曲線 C を $xy$ 平面に射影して得られる曲線の方程式を求めなさい。また、その概形を図示しなさい。

(2) 曲線 C の $t=0$ における接線の方程式を求めなさい。

(3) 曲線 C の $t=0$ における接線と $t=s$ における接線は、 $0<s<2\pi$ のとき、同一平面上にないことを示しなさい。

问题3（使用蓝色答题纸）

在直角笛卡尔坐标系（ $xyz$ 坐标系）中，设 $a$ 为正常数， $t$ 为实参数，考虑由 $(x,y,z)=(2\cos t,4\sin t,at)$ 确定的曲线 C。回答下列问题。

(1) 求将曲线 C 投影到 $xy$ 平面所得到的曲线方程，并画出其示意图。

(2) 求曲线 C 在 $t=0$ 处的切线方程。

(3) 证明当 $0<s<2\pi$ 时，曲线 C 在 $t=0$ 和 $t=s$ 处的两条切线不共面。

$t$ を消去すると

\boxed{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1}.

これは原点を中心とし、 $x$ 軸方向の半径が $2$ 、 $y$ 軸方向の半径が $4$ の楕円である。

曲線Cのxy平面への射影

位置ベクトルとその導関数を

\boldsymbol p(t)=(2\cos t,4\sin t,at),\qquad \boldsymbol p'(t)=(-2\sin t,4\cos t,a)

とする。 $\boldsymbol p(0)=(2,0,0)$ 、 $\boldsymbol p'(0)=(0,4,a)$ なので接線は

\boxed{(x,y,z)=(2,0,0)+\lambda(0,4,a),\quad\lambda\in\mathbb R}.

同値な表示は $x=2$ 、 $z=ay/4$ である。

二つの接線が同一平面上にあるためには、二つの方向ベクトルと二つの接点を結ぶベクトルのスカラー三重積が $0$ でなければならない。この三重積は

\begin{aligned} T&=\det\bigl(\boldsymbol p'(0),\boldsymbol p'(s),\boldsymbol p(s)-\boldsymbol p(0)\bigr)\\ &=\begin{vmatrix} 0&-2\sin s&2\cos s-2\\ 4&4\cos s&4\sin s\\ a&a&as \end{vmatrix}\\ &=8a(s\sin s+2\cos s-2). \end{aligned}

ここで $q=s/2\in(0,\pi)$ とおくと

s\sin s+2\cos s-2 =4\sin q\,(q\cos q-\sin q).

$h(q)=q\cos q-\sin q$ とおけば $h(0)=0$ であり、 $0<q<\pi$ では

h'(q)=-q\sin q<0.

したがって $h(q)<0$ 、 $\sin q>0$ より $T<0$ となる。よって $T\ne0$ であり、二つの接線は同一平面上にない。