大阪大学工学研究科機械工学専攻 2014年8月実施数学問題1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

問題1（解答用紙：赤）

$n$ を自然数として、対角要素が $0$ で他の要素が $1$ である $n$ 次正方行列 $A_n$ の行列式を $\det A_n$ と表す。以下の問いに答えなさい。

(1) $A_3$ を書きなさい。

(2) $\det A_3$ を求めなさい。

(3) $\det A_4$ を求めなさい。

(4) $\det A_n$ を $n$ を用いて表し、それが任意の自然数 $n$ に対して成り立つことを示しなさい。

问题1（使用红色答题纸）

设 $n$ 为自然数， $A_n$ 为对角元素均为 $0$ 、其余元素均为 $1$ 的 $n$ 阶方阵，行列式记为 $\det A_n$ 。回答下列问题。

(1) 写出 $A_3$ 。

(2) 求 $\det A_3$ 。

(3) 求 $\det A_4$ 。

(4) 用 $n$ 表示 $\det A_n$ ，并证明该表达式对任意自然数 $n$ 成立。

\boxed{A_3=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}.

第1行で展開すれば

\det A_3 =-\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix} =\boxed{2}.

$A_4$ の第2、第3、第4行から第1行を引き、その後、第1列に第2、第3、第4列を加えると

\det A_4 =\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&-1&0&0\\1&0&-1&0\\1&0&0&-1\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}3&1&1&1\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{vmatrix} =\boxed{-3}.

すべての成分が $1$ の行列を $J_n$ とすると、 $A_n=J_n-I_n$ である。 $\boldsymbol e=(1,\ldots,1)^{\mathsf T}$ に対して

A_n\boldsymbol e=(n-1)\boldsymbol e.

一方、成分の和が $0$ となるベクトル $\boldsymbol v$ については $J_n\boldsymbol v=\boldsymbol0$ なので

A_n\boldsymbol v=-\boldsymbol v.

この部分空間の次元は $n-1$ であり、 $\boldsymbol e$ の張る1次元部分空間と直和をなす。したがって固有値は $n-1$ が1個、 $-1$ が $n-1$ 個であり、その積から

\boxed{\det A_n=(-1)^{n-1}(n-1)}.

$n=1$ の場合も $A_1=(0)$ であり、右辺も $0$ となるため成立する。