大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2015年度 数学 問題1

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• 大阪大学
• 行列式
• 特征值与特征向量

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

$n$ を自然数とする。対角成分がすべて $0$、その他の成分がすべて $1$ である $n$ 次正方行列を $A_n$ とし、その行列式を $\det A_n$ と表す。以下の問いに答えなさい。

1. $A_3$ を書きなさい。
2. $\det A_3$ を求めなさい。
3. $\det A_4$ を求めなさい。
4. $\det A_n$ を $n$ を用いて表し、その式がすべての自然数 $n$ に対して成り立つことを証明しなさい。

题目描述

令 $n$ 为自然数，$A_n$ 为对角元全为 $0$、其余元素全为 $1$ 的 $n$ 阶方阵。

1. 写出 $A_3$。
2. 求 $\det A_3$。
3. 求 $\det A_4$。
4. 用 $n$ 表示 $\det A_n$，并证明该公式对所有自然数 $n$ 成立。

Kai

(1)

$$\boxed{A_3=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}.$$

(2)

第1行で展開すれば

$$\det A_3 =-\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix} =\boxed{2}.$$

(3)

$A_4$ の第2、第3、第4行から第1行を引き、その後、第1列に第2、第3、第4列を加えると

$$\det A_4 =\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&-1&0&0\\1&0&-1&0\\1&0&0&-1\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}3&1&1&1\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{vmatrix} =\boxed{-3}.$$

(4)

すべての成分が $1$ の行列を $J_n$ とすると、$A_n=J_n-I_n$ である。$\boldsymbol e=(1,\ldots,1)^{\mathsf T}$ に対して

$$A_n\boldsymbol e=(n-1)\boldsymbol e.$$

一方、成分の和が $0$ となるベクトル $\boldsymbol v$ については $J_n\boldsymbol v=\boldsymbol0$ なので

$$A_n\boldsymbol v=-\boldsymbol v.$$

この部分空間の次元は $n-1$ であり、$\boldsymbol e$ の張る1次元部分空間と直和をなす。したがって固有値は $n-1$ が1個、$-1$ が $n-1$ 個であり、その積から

$$\boxed{\det A_n=(-1)^{n-1}(n-1)}.$$

$n=1$ の場合も $A_1=(0)$ であり、右辺も $0$ となるため成立する。