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大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2014年度 熱工学 問題1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

nn モルの理想気体に次の準静的な循環過程を行わせる。状態1の温度は TLT_L、圧力は PHP_H である。

  • (a) 圧力 PL (<PH)P_L\,(<P_H) まで断熱膨張させ、状態2とする。
  • (b) 圧力を一定に保ち、温度 TH (>TL)T_H\,(>T_L) まで加熱・膨張させ、状態3とする。
  • (c) 温度を一定に保ち、圧力 PHP_H まで圧縮して状態4とする。
  • (d) 圧力を一定に保ち、温度 TLT_L まで冷却・圧縮して状態1に戻す。

一般気体定数を R0R_0、比熱比を κ\kappa とし、定積・定圧モル比熱は一定とする。気体が外部にする仕事と気体への流入熱を正とする。必要な量を n,TL,TH,PL,PH,R0,κn,T_L,T_H,P_L,P_H,R_0,\kappa で表せ。

  1. 状態2の体積を求めよ。
  2. 過程(a)～(d)それぞれの仕事を求めよ。
  3. 過程(a)～(d)それぞれの熱量を求めよ。
  4. 状態1のエントロピーを S1S_1、循環中の最大値を Smax⁡S_{\max} とするとき、Smax⁡−S1S_{\max}-S_1 を求めよ。

题目描述​

nn mol 理想气体从状态1的 TL,PHT_L,P_H 出发，依次经历：(a)绝热膨胀至 PL<PHP_L<P_H；(b)等压加热膨胀至 TH>TLT_H>T_L；(c)等温压缩至 PHP_H；(d)等压冷却压缩回到状态1。各过程准静态，摩尔比热恒定，气体常数为 R0R_0，比热比为 κ\kappa。气体对外做功及吸热为正。用给定参数求：(1)状态2体积；(2)各过程功；(3)各过程热量；(4)循环中最大熵与状态1熵之差。

Kai​

(1)​

cv=R0/(κ−1)c_v=R_0/(\kappa-1)、cp=κR0/(κ−1)c_p=\kappa R_0/(\kappa-1) とおく。断熱関係から

T2=TL(PLPH)(κ−1)/κ,V2=nR0TLPH(PHPL)1/κ.T_2=T_L\left(\frac{P_L}{P_H}\right)^{(\kappa-1)/\kappa},\qquad \boxed{V_2=\frac{nR_0T_L}{P_H}\left(\frac{P_H}{P_L}\right)^{1/\kappa}}.

以下の T2T_2 はこの式で定義する。

(2)​

W=∫P dVW=\int P\,dV および断熱過程での W=−ΔUW=-\Delta U より

Wa=nR0κ−1(TL−T2),Wb=nR0(TH−T2),Wc=nR0THlog⁡PLPH,Wd=nR0(TL−TH).\boxed{\begin{aligned} W_a&=\frac{nR_0}{\kappa-1}(T_L-T_2),\\ W_b&=nR_0(T_H-T_2),\\ W_c&=nR_0T_H\log\frac{P_L}{P_H},\\ W_d&=nR_0(T_L-T_H). \end{aligned}}

(3)​

第一法則 Q=ΔU+WQ=\Delta U+W を各過程に適用すると

Qa=0,Qb=nκR0κ−1(TH−T2),Qc=nR0THlog⁡PLPH,Qd=nκR0κ−1(TL−TH).\boxed{\begin{aligned} Q_a&=0,\\ Q_b&=\frac{n\kappa R_0}{\kappa-1}(T_H-T_2),\\ Q_c&=nR_0T_H\log\frac{P_L}{P_H},\\ Q_d&=\frac{n\kappa R_0}{\kappa-1}(T_L-T_H). \end{aligned}}

(4)​

(a)ではエントロピーは一定、(b)では増加し、(c),(d)では減少する。したがって最大となるのは状態3である。

Smax⁡−S1=ncplog⁡THT2=nκR0κ−1log⁡THTL+nR0log⁡PHPL.\boxed{S_{\max}-S_1=nc_p\log\frac{T_H}{T_2} =\frac{n\kappa R_0}{\kappa-1}\log\frac{T_H}{T_L} +nR_0\log\frac{P_H}{P_L}}.
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