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大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2013年8月実施 熱工学 問題1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

問題1（解答用紙：赤）

nn モルの理想気体からなる閉じた系がある。この系に対して下記の準静的過程 (a)～(d) により状態変化させることを考える。初期の状態（状態1）の系の温度は TLT_L、圧力は PHP_H である。

(a) 状態1から、圧力が PLP_L（<PH<P_H）になるまで断熱膨張させる（状態2）。

(b) 状態2から、温度が THT_H（>TL>T_L）になるまで等圧のまま膨張させる（状態3）。

(c) 状態3から、圧力が PHP_H になるまで等温のまま圧縮させる（状態4）。

(d) 状態4から、温度が TLT_L になるまで等圧のまま圧縮させる。

一般気体定数は R0R_0、比熱比は κ\kappa である。定積モル比熱ならびに定圧モル比熱は一定とする。系が周囲に仕事をする場合の符号を正、周囲から系に熱量が流入する場合の符号を正。このとき以下の問いに答えなさい。なお解答には n,TL,TH,PL,PH,R0,κn,T_L,T_H,P_L,P_H,R_0,\kappa の中から必要なものを用いなさい。

(1) 状態2の体積を求めなさい。

(2) (a)～(d) のそれぞれの過程について、系が周囲へする仕事を求めなさい。

(3) (a)～(d) のそれぞれの過程について、周囲から系に流入する熱量を求めなさい。

(4) 状態1の系のエントロピーを S1S_1 とする。状態変化 (a)～(d) を通じて系のエントロピーが最大となるときの値を Smax⁡S_{\max} とするとき、Smax⁡−S1S_{\max}-S_1 を求めなさい。

题目描述​

问题1（使用红色答题纸）

有一个由 nn 摩尔理想气体组成的闭口系统，考虑使其经历以下准静态过程 (a)～(d)。初始状态（状态1）的温度为 TLT_L，压力为 PHP_H。

(a) 从状态1绝热膨胀，直至压力变为 PLP_L（<PH<P_H），到达状态2。

(b) 从状态2等压膨胀，直至温度变为 THT_H（>TL>T_L），到达状态3。

(c) 从状态3等温压缩，直至压力变为 PHP_H，到达状态4。

(d) 从状态4等压压缩，直至温度变为 TLT_L。

通用气体常数为 R0R_0，比热比为 κ\kappa。定容摩尔比热和定压摩尔比热均为常数。系统对外界做功取正，外界向系统传入热量取正。回答下列问题，答案从 n,TL,TH,PL,PH,R0,κn,T_L,T_H,P_L,P_H,R_0,\kappa 中选用所需的量表示。

(1) 求状态2的体积。

(2) 分别求各过程 (a)～(d) 中系统对外界所做的功。

(3) 分别求各过程 (a)～(d) 中从外界流入系统的热量。

(4) 设状态1的系统熵为 S1S_1，经历过程 (a)～(d) 时系统熵的最大值为 Smax⁡S_{\max}。求 Smax⁡−S1S_{\max}-S_1。

Kai​

(1)​

cv=R0/(κ−1)c_v=R_0/(\kappa-1)、cp=κR0/(κ−1)c_p=\kappa R_0/(\kappa-1) とおく。断熱関係から

T2=TL(PLPH)(κ−1)/κ,V2=nR0TLPH(PHPL)1/κ.T_2=T_L\left(\frac{P_L}{P_H}\right)^{(\kappa-1)/\kappa},\qquad \boxed{V_2=\frac{nR_0T_L}{P_H}\left(\frac{P_H}{P_L}\right)^{1/\kappa}}.

以下の T2T_2 はこの式で定義する。

(2)​

W=∫P dVW=\int P\,dV および断熱過程での W=−ΔUW=-\Delta U より

Wa=nR0κ−1(TL−T2),Wb=nR0(TH−T2),Wc=nR0THlog⁡PLPH,Wd=nR0(TL−TH).\boxed{\begin{aligned} W_a&=\frac{nR_0}{\kappa-1}(T_L-T_2),\\ W_b&=nR_0(T_H-T_2),\\ W_c&=nR_0T_H\log\frac{P_L}{P_H},\\ W_d&=nR_0(T_L-T_H). \end{aligned}}

(3)​

第一法則 Q=ΔU+WQ=\Delta U+W を各過程に適用すると

Qa=0,Qb=nκR0κ−1(TH−T2),Qc=nR0THlog⁡PLPH,Qd=nκR0κ−1(TL−TH).\boxed{\begin{aligned} Q_a&=0,\\ Q_b&=\frac{n\kappa R_0}{\kappa-1}(T_H-T_2),\\ Q_c&=nR_0T_H\log\frac{P_L}{P_H},\\ Q_d&=\frac{n\kappa R_0}{\kappa-1}(T_L-T_H). \end{aligned}}

(4)​

(a)ではエントロピーは一定、(b)では増加し、(c),(d)では減少する。したがって最大となるのは状態3である。

Smax⁡−S1=ncplog⁡THT2=nκR0κ−1log⁡THTL+nR0log⁡PHPL.\boxed{S_{\max}-S_1=nc_p\log\frac{T_H}{T_2} =\frac{n\kappa R_0}{\kappa-1}\log\frac{T_H}{T_L} +nR_0\log\frac{P_H}{P_L}}.
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