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大阪大学 工学研究科 機械工学専攻 2014年度 数学 問題3

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

直交デカルト座標系（xyxy 座標系）において、関数 f(x,y)=xyf(x,y)=xy と領域 D:5x2−6xy+5y2≤8D:5x^2-6xy+5y^2\le8 を考える。以下の問いに答えなさい。

  1. 領域 DD を原点を中心に反時計回りに 45∘45^\circ 回転して得られる領域を D′D' とする。領域 D′D' を数式で示しなさい。

  2. 新たな直交デカルト座標系（stst 座標系）を考える。xyxy 座標系から stst 座標系への線形写像により、領域 DD が領域 D‾:s2+t2≤1\overline D:s^2+t^2\le1 に写されるとき、その写像の関係式を一つ示しなさい。

  3. 次の積分を求めなさい。

    ∬Df(x,y) dx dy.\iint_D f(x,y)\,dx\,dy.

题目描述​

在直角坐标系中，设 f(x,y)=xyf(x,y)=xy、D:5x2−6xy+5y2≤8D:5x^2-6xy+5y^2\le8。

  1. 将区域 DD 绕原点逆时针旋转 45∘45^\circ 得到 D′D'，写出 D′D' 的表达式。
  2. 给出一个从 xyxy 坐标到 stst 坐标的线性映射，使 DD 映为单位圆盘 D‾:s2+t2≤1\overline D:s^2+t^2\le1。
  3. 计算 ∬Dxy dx dy\iint_D xy\,dx\,dy。

Kai​

(1)​

回転後の座標を (X,Y)(X,Y) とすると

(XY)=12(1−111)(xy),x=X+Y2,y=−X+Y2.\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\qquad x=\frac{X+Y}{\sqrt2},\quad y=\frac{-X+Y}{\sqrt2}.

これを領域の不等式に代入すれば 8X2+2Y2≤88X^2+2Y^2\le8 となる。したがって、回転後の平面の座標を再び (x,y)(x,y) と書けば

D′:x2+y24≤1.\boxed{D':x^2+\frac{y^2}{4}\le1}.

(2)​

(1) の X,YX,Y に対して s=Xs=X、t=Y/2t=Y/2 とおけばよい。すなわち

s=x−y2,t=x+y22.\boxed{s=\frac{x-y}{\sqrt2},\qquad t=\frac{x+y}{2\sqrt2}}.

このとき 5x2−6xy+5y2=8(s2+t2)5x^2-6xy+5y^2=8(s^2+t^2) であり、確かに DD は単位円盤に写る。

(3)​

(2) の逆変換と Jacobian は

x=s2+2t,y=−s2+2t,∣∂(x,y)∂(s,t)∣=2.x=\frac{s}{\sqrt2}+\sqrt2t,\qquad y=-\frac{s}{\sqrt2}+\sqrt2t,\qquad \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}\right|=2.

また xy=−s2/2+2t2xy=-s^2/2+2t^2 なので

∬Dxy dx dy=∬s2+t2≤1(−s2+4t2) ds dt.\iint_Dxy\,dx\,dy =\iint_{s^2+t^2\le1}(-s^2+4t^2)\,ds\,dt.

単位円盤の対称性と極座標表示から

∬s2+t2≤1s2 ds dt=∬s2+t2≤1t2 ds dt=∫01r3 dr∫02πcos⁡2θ dθ=π4.\iint_{s^2+t^2\le1}s^2\,ds\,dt =\iint_{s^2+t^2\le1}t^2\,ds\,dt =\int_0^1r^3\,dr\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta =\frac\pi4.

よって求める積分は

∬Dxy dx dy=3π4.\boxed{\iint_Dxy\,dx\,dy=\frac{3\pi}{4}}.
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